2010年广东省高中数学竞赛试题及详解答案(4)

x1x2

2

， ② 3 a2

∵以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴OA OB，

∴x1x2 y1y2 0，

即x1x2 (ax1 1)(ax2 1) 0，整理，得(a 1)x1x2 a(x1 x2) 1 0

2

③

1 a2

将①②代入③，并化简得 0，∴a 1，

3 a2

经检验，a 1确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.

2.证明：假设存在这样的函数f，则对任意的整数n，设f(n) a，f(n 5) b，其中

a,b 1,2,3 ，由条件知a b.

由于|(n 5 )n(

2 )|，3|n (n 2)| 2，∴f(n 2) a且f(n 2) b，即

是 1,2,3 除去a，b后剩下的那个数，不妨设f(n 2) c f(n 2)

又由于|(n 5) (n 3)| 2，|n (n 3)| 3，∴f(n 3) f(n 2).

以n 1代替n，得f(n 4) f(n 3) f(n 2)，但这与|(n 4) (n 2)| 2矛盾！ 因此假设不成立，即不存在这样的函数f. 3.证明：先证左边的不等式. ∵a b c 1，

∴ab bc ca (ab bc ca)(a b c) ab ab bc bc ac ac 3abc

2

2

2

2

2

2

6abc 3abc 9abc

再证右边的不等式.

不妨设a b c，注意到条件a b c 1，得

1 4(ab bc ca) 9abc (a b c)3 4(a b c)(ab bc ca) 9abc

a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b) (a b)[a(a c) b(b c)] c(c a)(c b) 0，

1

(1 9abc)， 4

1

综上，9abc ab bc ca (1 9abc).

4

所以ab bc ca