幂零矩阵的性质和应用

幂零矩阵性质及应用

数学学院097班 靳巧丽 学号：20090501050707

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 基本知识

（一） 基本概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak 0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak 0的最小正整数称为A的幂零指数。

a11 a1n a11 an1

3、设A ，称A 为A的转置，

a a

1n ann n1 ann A11 An1

称A* 为A的伴随矩阵。

A A

nn 1n

其中Aij(i,j 1,2, ,n)为A中元素aij的代数余子式

4、设A为一个n阶方阵，A的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记为trA。

5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。 6、形为

0 0 1 0

J( ,t)

00 0 00 1 的矩阵称为若当块，其中 为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形

矩阵。

7、f( ) E A称为矩阵A的特征多项式。满足f( ) E A 0的 的值称为矩阵A的特征值。

8、次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。

（二）基本引理

*

引理1：设A，B为n阶方阵，则 AB B A , AB B*A*

引理2：f( ) E A,mA( )分别为矩阵A的特征多项式和最小多项式，则

有f(A) 0,mA(A) 0。

引理3：每一个n阶的复矩阵A都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若

当块的排序外被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形。

引理4：若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。 引理5： n阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A和最小多项式无重根。引理6：相似矩阵具有相同的特征值。

引理7：设 1, 2, , n为n阶矩阵A的特征值，则有trA 1 2 n，

A 1 2 n，且对任意的多项式f(x)有f(A)的特征值为f( 1),f( 2), ,f( n)。

a 1 的最小多项式为(x a)k且有引理8：k阶若当块Jk

1a

k

。 (Jk aE) 0

引理9：A，B为n阶复数域上的矩阵，若AB BA，则存在可逆矩阵T，使得

1

1

TAT

2

1 1 TBT

n

2

。

n

引理10：任意n阶A，B方阵，有tr(AB) tr(BA)。

二、 幂零矩阵的性质

性质1：A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0。 证明： A为幂零矩阵 k Z s.t

Ak 0

令 0为A任意一个特征值，则 0,s.tA 0 由引理7知， 0k为Ak的特征值 0

s.tAk 0k 从而有 0k=0即有 0 0

k

又有Ak 0，知0 Ak A A 0

k

0*E A A (1A (k 1) 0

0 0为A的特征值。

由 0的任意性知，A的特征值为0。 A的特征值全为0

A的特征多项式为f( ) E A n 由引理2知，f(A) An 0 所以A为幂零矩阵。 得证 性质2：A为幂零矩阵的充分必要条件为 k Z 证明： A为幂零矩阵，由性质1，知：

A的特征值全为0 即 1 2 n 0 由引理7，知 Ak的特征值为 1k 2k nk 0

从而有 trAk 1k 2k nk 0

trAk 0。

由已知， k Z trAk 1k 2k nk 0

(0.1)

令 1, 2, , t为A的不为0的特征值 且 i互不相同重数为ni

(i 1,2, ,t)

由（1.1）式及引理7，得方程组

n1 1 n2 2 nt t 0

222n n n 01122tt 333

n1 1 n2 2 nt t 0

n1 1t n2 2t nt tt 0

(0.2)

由于方程组（1.2）的系数行列式为

B

1 2 t 12 22 t2

1

1 2 t

1

1

2

1

t

1t 2t

tt

1t 2t

tt

1 2 t ( i j)

1 j i t

又 i

(i 1,2, t)互不相同且不为0， B 0

从而知，方程（1.2）只有0解，即ni 0(i 1,2, ,t)

即A没有非零的特征值

A的特征值全为0， 由性质1，得A为幂零矩阵。

性质3：若A为幂零矩阵，则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J

和主对角线上的元素为0。

证明：A为幂零矩阵， 由性质1，知 A的特征值全为0 由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T，使得

J1 AT

J2

Js

T 1

i 1 阶数为n(i 1,2, ,s) 其中Ji i

1 i

由引理4，知 i(i 1,2, ,s)为J和特征值

又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值 所以 i 0(i 1,2, ,s) 即J的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (Ji 0 En)i J(i J1,J2, ,Js为幂零矩阵。

性质4：若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有A E 1,E A 1。 证明： A为幂零矩阵， k Z s.t

k

ni

) 0i ( 1,2s,

Ak 0

0 Ak A A 0 A一定不可逆

由性质1，得A的特征值为 1 2 n 0

由引理7，得

A E,E A的特征值分别为

n 0 1 1, 1 2 n 1 0 1 1 2

且有A E 1 2 n 1n 1 E A 1 2 n 1n 1

即A E 1,E A 1 得证 性质5：若A E为幂零矩 …… 此处隐藏：5723字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……