第一类换元积分,第二类换元积分

第一类换元积分,第二类换元积分

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一、第一类换元法问题

cos 2 xdx sin 2 x C ,

解决方法 利用复合函数，设置中间变量.

1 过程 令 t 2 x dx dt , 2 1 1 1 cos 2 xdx 2 cos tdt 2 sin t C 2 sin 2 x C .

第一类换元积分,第二类换元积分

在一般情况下：

设 F ( u) f ( u), 则

f (u)du F (u) C .

如果 u ( x )(可微)

dF [ ( x )] f [ ( x )] ( x )dx

f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C [ f ( u)du]u ( x ) 由此可得换元法定理

第一类换元积分,第二类换元积分

定理1

u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，

则有换元公式

f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )第一类换元公式(凑微分法) 说明 使用此公式的关键在于将

g( x )dx

化为 f [ ( x )] ( x )dx .

观察重点不同，所得结论不同.

第一类换元积分,第二类换元积分

例1

求 sin 2 xdx .

1 解(一) sin 2 xdx sin 2 xd ( 2 x ) 2 1 cos 2 x C ; 2 解(二) sin 2 xdx 2 sin xcos xdx

2 sin xd (sin x ) sin x C ;2

解(三) sin 2 xdx 2 sin xcos xdx

2 cos xd (cos x ) cos x C .2

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1 dx. 例2 求 3 2x 1 1 1 ( 3 2 x ) , 解 3 2x 2 3 2x 1 1 1 3 2 xdx 2 3 2 x (3 2 x ) dx 1 1 1 1 du ln u C ln(3 2 x ) C . 2 u 2 2 1 一般地 f (ax b)dx [ f ( u)du]u ax b a

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1 dx . 例3 求 x(1 2 ln x )解

1 1 x(1 2 ln x )dx 1 2 ln xd (ln x )

1 1 d (1 2 ln x ) 2 1 2 ln x

u 1 2 ln x1 1 1 du ln u C 1 ln(1 2 ln x ) C . 2 u 2 2

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x dx . 例4 求 3 (1 x ) x x 1 1 dx dx 解 3 3 (1 x ) (1 x ) 1 1 [ ]d (1 x ) 2 3 (1 x ) (1 x ) 1 1 C1 C2 2 1 x 2(1 x ) 1 1 C. 2 1 x 2(1 x )

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1 例5 求 2 dx. 2 a x 1 1 dx 2 解 2 2 a x a1 a

1 2 dx x 1 2 a

1 x x 1 arctan C . 2d a x a a 1 a

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1 dx. 例6 求 2 x 8 x 25解

1 1 x 2 8 x 25dx ( x 4)2 9dx

1 1 1 1 x 4 d 2 dx 2 2 3 x 4 3 x 4 3 1 1 3 3 1 x 4 arctan C. 3 3

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1 dx. 例7 求 x 1 e 1 1 ex ex dx dx 解 x x 1 e 1 ee e dx dx dx 1 x x 1 e 1 e 1 dx d (1 e x ) x 1 exx

x ln(1 e x ) C .

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1 例8 求 (1 2 )e dx . x 1 1 解 x 1 2 , x x

x

1 x

1 (1 2 )e x ex 1 x

x

1 x

dxx 1 x

1 d( x ) e x

C.

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例9 求

1 dx. 2x 3 2x 12x 3 2x 1 dx 2 x 3 2 x 1 2 x

3 2 x 1

原式

1 1 2 x 3dx 2 x 1dx 4 4 1 1 2 x 3d ( 2 x 3) 2 x 1d ( 2 x 1) 8 8 1 1 3 3 2 x 3 2 x 1 C . 12 12

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1 例10 求 dx. 1 cos x 1 1 cos x 解 dx dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x dx dx 2 2 1 cos x sin x 1 1 2 dx 2 d (sin x ) sin x sin x 1 cot x C. sin x

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例11 求 sin 2 x cos5 xdx . 解

sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos 4 xd (sin x ) 2 2 2 2 4 6

sin x (1 sin x ) d (sin x ) (sin x 2 sin x sin x )d (sin x )1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C . 3 5 7说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.

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例12 求 cos 3 x cos 2 xdx .

1 解 cos A cos B [cos( A B ) cos( A B )], 2 1 cos 3 x cos 2 x (cos x cos 5 x ), 2 1 cos 3 x cos 2 xdx 2 (cos x cos 5 x )dx 1 1 sin x sin 5 x C . 2 10