2012新课标人教A版数学同步导学课件：1.2《充分条件与必要条件》(选修2-1)

1.2 充分条件与必要条件

1.结合具体例子，理解充分条件、必要条件、充要条件的意 义. 2.会判断证明充要条件.

1.判断充分条件、必要条件、充要条件.(重点)2.判断“若p,则q”是否成立时，相关知识点的应用.(难

点)3.证明充要条件和求充要条件.(难点)

1.开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B

亮作为命题的结论q,你能根据下列各图所示. 判断p是q的什么条件吗？

2.今天下雨了，而小明没带伞，可以推知小明可能淋雨

了.若我们把它改写成命题的形式就是：今天下雨了，若小明没带伞，则小明可能淋雨了.可见如果该命题为真，那么命题 的条件可以推出命题的结论是真的，这种命题的条件和结论之 间具备某种关系，这是什么关系呢？

1.充分条件与必要条件 命题真假 推出关系 条件关系 “若p则q”是真命题 p q p是q的 充分 条件 q是p的 必要 条件 p不是q的 充分 条件 q不是p的 必要 条件 “若p则q”是假命题

2.充要条件

(1)如果既有 p q充分必要条件，简称充要

,又有 q p条件.

,就记作p q,p是q的

(2)概括地说：如果

p q ,那么p与q互为充要条件.

(3)充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一 是 充分性 ，二是 必要性 .

1.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5 ”的( A.充分而不必要条件

)

B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析： ①x=4,a=(x,3) |a|=5. ②a=(x,3),|a|=5 x=±4. ∴x=4是|a|=5的充分不必要条件. 答案： A

2.一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( A.a<0 C.a<-1 ) B.a>0 D.a>1

解析： 令 f(x)=ax2+2x+1(a≠0),则方程 ax2+2x+1 =0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是 Δ=4-4a≥0 1 a<0. a<0 又因为{a|a<-1} {a|a<0},故选 C.答案： C

3.从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要

条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出恰当的一种填空： (1)“a = 0” 是 “ 函 数 f(x) = x2 + ax(x∈R) 为 偶 函 数 ” 的 ________; (2)“sin α>sin β”是“α>β”的________; (3)“M>N”是“log2M>log2N”的________; (4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________.

解析： (1)当a=0时，函数f(x)=x2+ax(x∈R)即为f(x)=x2,为偶函数，若f(x)=x2+ax(x∈R)为偶函数，

则f(-x)=(-x)2+a(-x)=x2-ax=f(x)=x2+ax,则2ax=0(x∈R),解得a=0, 综上知“a=0”是“函数f(x)=x2+ax(x∈R)为偶函数”的充 要条件.

(2)由正弦函数的图象可知sin α>sin β / α>β,α>β / sin α>sin β.

∴sin α>sin β是α>β的既不充分又不必要条件.(3)由函数y=log2x

的单调性知log2M>log2N M>N; 但是M>N / log2M>log2N. ∴M>N是log2M>log2N的必要不充分条件. (4)x∈M∩N x∈M∪N,x∈M∪N / x∈M∩N. ∴x∈M∩N是x∈M∪N的充分不必要条件.

答案： (1)充要条件 (2)既不充分又不必要条件(3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件

4.已知a、b、c均为实数，证明ac<0是关于x的方程ax2 +bx+c=0有一正根和一负根的充要条件.

证明： (1)充分性： 若 ac<0,则 Δ=b2-4ac>0. ∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实根，设为 x1, x2, ∵ac<0, c ∴x1·2= <0,即 x1、x2 的符号相反. x a ∴方程有一个正根和一个负根，

(2)必要性： 若方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和一个负根， 设为 x1、x2,不妨设 x1<0,x2>0, c 则 x1x2= <0, a ∴ac<0,

由(1)、(2)知 ac<0 是方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和 一个负根的充要条件.