第3章 晶格振动与晶体的热学性质new

第三章晶格振动与晶体的热学性质1

第三章晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点位置表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。2

§3.1连续介质中的波

波动方程 u x2 2

uY t2

2

0

对足够长的介质，求行波(traveling wave)解：叫色散关系(dispersive relation)

= vsq其中波相速 vs= Y/

§3.2一维晶格振动格波讨论晶格振动时采用了绝热近似,近邻近似和简谐近似 绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。为简单化，可以把离子的运动看成是近似成中性原子的运动。 近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用； 简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。5

§3.2一维晶格振动格波晶体振动势能1 d2U dU U(r0 ) U(r0 ) ( ) r0 ( 2 ) r0 2 dr 2 dr

简谐近似——振动很微弱，势能展式中作二级近似：1 U(r0 ) U(r0 ) U'| r0 U' '| r0 2 2

相邻原子间的作用力 d U U βδ f 2 d r r02

d2U dr 2 r06

考虑第n个粒子的受力情况,它只受最近邻粒子的相互作用,即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个粒子的弹性力f n 1 β u n u n 1 f n 1 β u n u n 1 f n 1 f n 1 f n ma

un-1 un un+1

n-1 n

n+1 n+2

d 2 un m β 2 u n u n 1 u n 1 2 dt7

行波解 i ( t naq ) u Ae以行波作试探解 nq

m 2 e i ( t naq ) βe i ( t naq ) (e iaq e iaq 2)

利用：得：

e

iaq

e

iaq

qa 2 2cos(qa) - 2 4sin ( ) 22

ω2

4β qa sin 2 ( ) m 2

ω 2

β qa sin( ) m 28

色散关系 m

β qaω 2 sin( ) m 2

q a a0 a a10

长波极限 因为色散曲线是周期的且关于原点对称,在 0< q< /a的区间内,频率仅覆盖在 0< < m的范围内。 类似于机械低通滤波器,仅在这一范围内的频率可以通过。 在长波极限时:q= 2 / ->0; sinx -> x,

= ( ma/2)q= vsqvs= ( ma/2) 长波极限时为线性关系，连续介质情形。11

布里渊区边界在长波极限时:q ->0, >>a,原子同相运动,邻近原子产生恢复力小，频率小

a

a

在q= /a, =2a,相邻原子反相运动,恢复力取极大，此时，频率取极大。 12

思考练习题在晶格常数为a的一维单原子晶格中，波

长为4a和4a/5的格波所对应的原子振动状态有无不同，试画图说明。

13

空间的对称性:第一布里渊区 a)色散关系 (q)的周期对称性,其周期为2 /a.

(q+2 /a)= (q)

aa

q= /2a

a/5

q’=q+2 /a

14

2 Kh h是一维晶格的倒格矢，h为任意整数，则 a

2 q q K h q h a

un Aeq

i q na t

Ae

i qna t i 2 h n

e

un

可限制在简约布里渊区

a

q

a

15

位相和群速度 波速,相速:(phase velocity)

vp

q

群速:(group velocity)波包(能量)传播速度。 ( q ) 对三维情况: vg= grad (q) vg q 对非连续晶格，在长波极限时，群速等于相速，且它们都等于声速；此时，点阵的行为象一个连续体，没有色散发生。随着波长的变短，群速减少，到短波极限q 时减至0。16

群速为零的物理意义---格波的布拉格反射

由于沿+x方向传播的格波受到晶格的布拉格反射(全反射)产生-x方向的波长为2a的格波相干，形成驻波。布里渊区边界并非晶界,布里渊区边界的反射(布啦格反射)实际上发生在每一个原子身上,这与晶界反射截然不同。17