人教版高中数学必修5第二章 数列-《2.5等比数列的前n项和》课件(1)

2.5 等比数列前n项和公式

8

7

6

5

4

陛下，赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放 1 颗麦粒 子放 4 颗麦粒 就可以 。 请在第二个格 子放 8 颗麦粒 依次类推 ……子放2颗麦粒

8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐？ 1 3 2 1

OK

?64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的

2倍, 且共有 64 格子.

2 1

0

2

1

2

2

2

3

2 63

?

由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，2 为公比的等比数列的前64项的求和问题，即：

S 64 1 2 4 8 …… 2 62 2 63把上式左右两边同乘以2 得：

①64

2S 64

2 4 8 16+ ……

2 263

②

由②- ①得：

S 64 2 64 1

错 位 相 减 法19

=18446744073709551615≈1.84 10

假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的 总质量超过了7000亿吨。 所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计 数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界 的麦粒全拿来，也满足不了他的要求。 其实，人们估计，全世界一千年也难以生产 这么多麦子!是当时全世界在两千年内所产的 小麦的总和！如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食， 那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500 圈，或在太阳和地球之间打个来回。

S 64 1 2 4 8 …… 2 62 2 63把上式左右两边同乘以2 得：

①

2S 64

2 4 8 16+ ……

2 63 2 64

②

错 位 相 减 法

由②- ①得：

S 64 2 64 1

思考： (1)为什么②式选择乘以2,而不是别的数字？ 乘以2有什么样的好处？ (2)类比以上例子，你能发现什么规律？

如何求等比数列的Sn:Sn a1 a2 a3 an 1 an

错位相减法n 1

Sn a1 a1q a1q a1q2

n 2

a1q

①n

qSn

a1q a1q a1q a1q2 3

n 1

a1q ②n

①—② ,得 (1 q)Sn a1 0 0 a1q n (1 q)Sn a1 a1q

a1 1 q Sn 1 q

n

(q≠1)

等比数列前n项和公式的推导

a1 1 q Sn 1 q

n

(q≠1)

思考：那q=1怎么办呢？

提示：q=1说明数列有什么特点？

等比数列前n项和公式的推导

na1 (q 1) n S n a1 (1 q ) (q 1) 1 q注意：1.使用公式求和时，需注意对q 的情况加以讨论；

1和 q 1

2.推导公式的方法：错位相减法。

等比数列前n项公式当 q 1 时，

a1 (1 q ) Sn 1 qn

或

a1 a n q Sn 1 q

当q=1时，

Sn na1

公式运用判断是非n n 1 ( 1 2 ) n 1 ①1 2 4 8 16 ( 2)

1 ( 2)

n ( 2)

1 (1 2 ) ② 1 2 2 2 2 1 22 3 n2 2 n c [ 1 ( c ) ] 2 4 6 2n ③ c c c c 1 c2

n

n+1

c 可能为1 或0

2

例1 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：题号(1)

a11 2

q1 2

n8

an1 256

Sn255 256

1 8 (2) 1 [1 ( ) ] 解： 2 2 S(3) 8 1 1 2 1 8 1 ( ) 2255 256

1 1 7 a8 ( ) 2 2 263 1 8 96 an a1q n 1 ( ) 2 1 256

例1 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：题号 (1) (2) a11 227

q1 22 3

n84

an1 256

Sn255 256

8 96

65 63

2 n 1 a1 a4 q 解： an (3) 27 ( ) 8 2 S 4 3 1 q 2 n 1 2 3 2 an ( ) ( ) 27 8 3 3 3 2 1 n 4 3 65

例1 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：题号 (1) (2) (3) a11 227

q1 22 3

n84

an1 256

Sn255 256

8 96

65 63

3

2

6

a1、q、n、an、Sn中 知三求二

课本58页练习1

(1)a1 3, q 2, n 63(1 2 ) Sn 189 1 26

1 1 (2)a1 2.7, q , an 3 90

1 1 2.7 ( ) 91 90 3 Sn 45 1 1 ( ) 3

课本61页A3