13.4 课题学习 最短路径问题
如图所示,从A地到B地有三条路 可供选择,你会选走哪条路最近? 你的理由是什么?C A
①D ②
E B
③
两点之间,线段最短
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知:如图,A,B在直线L的两 侧,在L上求一点P,使得 PA+PB最小。连接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求。P
思考???为什么这样做就能得到最短距 离呢?根据:两点之间线段最短.
引入新知
引言: 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问 题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.
探索新知问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访 海伦,求教一个百思不得其解的问题: 从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然 后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短?
BA l
探索新知精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 问题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗?
BA l
探索新知追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?
将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线. · A· lB
探索新知追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?
(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A, B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地 到饮马地点,再回到B 地的路程之和;
探索新知追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?
(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上 面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小(如图). B AC l
探索新知问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B · 追问1 对于问题2,如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处,满足直线l 上的任意一点 C,都保持CB 与CB′的长度 相等?
探索新知问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识,找到上问中符合条 l 件的点B′吗?
探索新知问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是
直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B 作法: · A (1)作点B 关于直线l 的对称 点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交 于点C. 则点C 即为所求.·
C
l
B′
探索新知问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
·
A
·
B
C
l
B′
探索新知问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不 重合),连接AC′,BC′,B′C′. B 由轴对称的性质知, · A BC =B′C,BC′=B′C′. · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′, C AC′+BC′ = AC′+B′C′. B′
探索新知问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
证明:在△AB′C′中, AB′<AC′+B′C′, ∴ AC +BC<AC′+BC′. 即 AC +BC 最短.
·
A
·
B
C′ C
l
B′