第二十三章 量子力学初步

量子力学初步

本章内容波函数及其统计解释

Contents

chapter 23

wave function and its statistical explanation 薛定谔方程 Schrodinger equation 隧道效应 tunnel effect 不确定关系 uncertainty relation

第一节23-1wave function and its statistical explanation

引言量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理，并通过几个具体事例的讨论来说 明量子力学处理问题的一般方法。

波函数波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道 了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。

下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。 回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设 质量为 速度为 的自由粒子

一方面可用 能量另一方面可用 频率

和 动量和 波长

来描述它的粒子性来描述它的波动性

在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程

自由粒子波函数

在量子力学中用复数表达式：

应用欧拉公式

沿 X方向匀 的自由粒子的波函数为 速直线运动

取实部 应用德布罗意公式 即即

沿 方向匀 的自由粒子的波函数为 速直线运动

即

在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数 自由粒子的一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程

续上

波函数

在量子力学中用复数表达式：

应用欧拉公式 自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。

取实部 沿 对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量 X方向匀 的自由粒子的波函数为 应用德布罗意公式 速直线运动 即

不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。即

沿 方向匀 的自由粒子的波函数为 微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是 速直线运动 即

量子力学的一个基本假设。

概率密度设描述粒子运动状态的波函数 为 ，则 空间某处波的强度与在该处 发现粒子的概率成正比； 在该处单位体积内发现粒子 的概率(概率密度) 与 的模的平方成正比。取比例系数为1,即

是

的共轭复数 1926 年提出了对 波函数的统计解释

德布罗意波又称 概率波波函数又称 概率幅

因概率密度 故在 矢端的体积元

波函数归一化内

发现粒子的概率为

在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。

此条

件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数

波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：

概率波与经典波 德布罗意波(概率波)不同于 经典波(如机械波、电磁波)经 典 波

德布罗意波不代表任何物理量的传播 波强(振幅的平方)代表粒 子在某处出现的概率密度 概率密度分布取决于空间 各点波强的比例，并非取 决于波强的绝对值。因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所 描述德布罗意波的状态相同。

是振动状态的传播波强(振幅的平方)代表 通过某点的能流密度 能流密度分布取决于空 间各点的波强的绝对值。因此，将波函数在空间 各点的振幅同时增大 C倍， 则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度 分布状态。

波动方程无归一化问题。

波函数存在归一化问题。

波函数标准条件 波函数的三个标准条件：连续 单值 有限因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续； 因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；

因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；

以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件

符合

不符合

不符合

不符合

某粒子的 波函数为归一化波函数 令

算例概率密度 求得

概率密度最大的位置

令积分得：

求极大值的 x 坐标

解得

处处题设

最大

另外两个解得到归一化波函数：

概率密度

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