运筹学课件2.3 对偶解和经济学解释

2.3 对偶解的解释

2.3.1 对偶解与影子价格 2.3.2 检验数和边际贡献 2.3.3 互补松弛定理

2.3.1 对偶解与影子价格

目标函数的典则型为

z cB B b (cN cB B N ) xN

1

1

最优目标函数值

z cB B b*

1

因此

z 1 cB B y b

Y的经济学意义

对偶问题的最优解y本是资源出租的价格，但 它和企业的技术水平，产品的供需关系等有关， 因此叫做影子价格。它与市场价格不同。 影子价格可用于生产决策和灵敏度分析。影子 价格>市场价格时，应当购进资源过大生产， 反之，应当租出资源。 灵敏度分析将在第2.5节讨论。

用例1.1的最优解解释

CB30 50

cj xB

50

30

0

0

x2

b x11350

x21 0 0

x31 -1/2 -5

x4-2 3/2 -15

j

20 x1 15

0 1 0

木工和油漆工的影子价格分别为5和15。当木工和油 漆工的租金(即市场价格)分别大于5和15时，就可 以出租，反之则宁愿自己生产，甚至从市场招木工和 油漆工扩大生产。

并且注意：

z cB B b c x 30 20 50 15 1350 * 1 * z cB B b y b 5 120 15 50 1350* * B B

1

所以原、对偶问题的目标函数值相等。

2.3.2 检验数和边际贡献

由于目标函数的典则型是

z cB B b (cN cB B N ) xN

1

1

因此

z 1 c N cB B N x N N ys 2

非基变量检验数的经济学解释

可见非基变量的检验数是多生产一件产品给企业带来 的收益，叫做边际贡献。 所以当 j 0时，即边际贡献大于零时，应当生产 该产品，对应的非基变量应当入基。当 j 0 时，边际贡献小于零，因此不能生产该产品，相应的 变量应当是非基变量。 当所有的非基变量的检验数都小于等于零时，非基变 量对应的产品都不能生产，因此当前的生产计划是最 优的，获得了最优解。

2.3.3 互补松弛定理

定理2.4 (互补松弛定理)如果x, y分别是(P)和(D)的可 行解，它们分别为最优解的充要条件是

如果是基本可行解，则上述第一式可以写成 由于 ys1 0和xN 0,显然第一式成立。由 对称性定理很容易证明第二式也是成立的。

ys x 0 y xs 0

ys1 xB ys 2 xN 0

关于互补松弛定理的经济学解释

再应用可行域的凸性，很容易证明上述结论对 一般最优可行解也是成立的。 互补松弛定理告诉我们：

当某资源的影子价格不等于零，则该资源为稀缺 (紧)资源，它不可能多余，因此对应的松弛变量 等于零。 当某资源的影子价格等于零时，则该资源可能有多 余，它为松资源，对应的松弛变量在基变量中。

对于例1.1

CB30 50

cj x

B

50

30

0

0

x2

b x11350

x21 0 0

x31 -1/2 -5

x4-2 3/2 -15

j

20 x1 15

0 1 0

由于y1和y2都大于零，因此x3和x4等于零，并都 是非基变量。木工和油漆工都是紧资源。

习题

习题2.7,P.88-89。