2.7探索勾股定理1

2.7探索勾股定理(一)

勾

股

你听说过：“勾广三，股 修四，弦隅五”的说法吗？

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”,下半部分称为“股”。我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为 “股”,斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，西周 开国时期(约公元前1000多年)有个叫商高的人对周公 说，把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形。 如果钩是3,股是4,那么弦是5,这就是商高发现的 “勾股定理”。因此在中国，勾股定理又称“商高定 理”,在西方国家，勾股定理又称“毕达哥定理”。但 毕达哥发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国 古代人民对人类贡献的杰出。

(1)观察图1-1 CA 正方形B的面积是 B图1-1

正方形A的面积是 4 个单位面积。

9 个单位面积。正方形C的面积是

13 个单位面积。(图中每个小方格代表一个单位面积)

你是怎样得到正方形c 的面积。

A

C

(2)在图1-2中，正方形 A,B,C中.它们的面积各 是多少？(3)你能发现图1-1中三 个正方形A,B,C的面积 之间有什么关系吗？图12中呢？

B图1-2

CA

B图1-1

SA+SB=SC

即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积

A

a

cb

C

(1)你能用三角形 的边长表示正方形的 面积吗？ (2)你能发现直角三 角形三边长度之间存 在什么关系吗？

B图1-1

CA

B图1-2

结论：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方

勾股定理(gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c,那么

a b c2 2

2

a

cb

即 : 直角三角形两直角边的平方和等于

斜边的平方。

勾股定理——千古第一定理在古代，许多民族发现了这个事实，即直角三角形的三条 边长为a,b,c,则 a 2 b2 c 2,其中 a,b是直角边长，c是斜长， 我国的算术《周髀算经》中，就有勾股定理的记载，为了纪念 我国古人的伟大成就，就把这个定理命名为“勾股定理”或 “商高定理”,在西方，被称为“毕达哥拉斯”定理或“百牛” 定理。不管怎么说，勾股定理都是数学中的伟大定理，它给人 们的巨大力量可说是难以估量，几乎所有的生产技术和科学研 究都离不开它。它的重要性主要表现在： (1)勾股定理是联系数学最基本的，也是最原始的两个对象— —数与形的第一定理；(2)勾股定理导致无理数的发现，这就 是所谓的第一次数学危机；(3)勾股定理开始把数学由计算与 测量的技术转变为证明和推理的科学；(4)勾股定理中的公式 是第一个不定方程，有许许多多组数满足这个方程，也是最早 得出完整解答

的不定方程，它一方面引导出各式各样的不定方 程，包括著名的费马大定理，另一方面也为不定方程的解题程 序树立了一个范式。

ca b

c a

b

1 2 (b a) 4 ab c 22

b 2ab a 2ab c2 2

2

a b c2 2

2

a b c c b

1 (a b) c 4 ab 22 2

a

a b2

2

c

2

有趣的总统证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，

就把这一证法称为“总统”证法。

试一试在△ABC中，∠C= 90 .

(1)若a=5,b=12,则c= (2)若c=4,b= 6 ,则a=

. .2 2

c a b2

2

a c b

选一选已知△ABC的三边分别是a,b,c, 若∠B=Rt∠,则有关系式( )

A.a2+b2=c2 C.a2-b2=c2

B.a2+c2=b2 D.b2+c2=a2

例:一个长方形零件图,根据所给的尺寸(单位 mm),求两孔中心A、B之间的距离.40

A90

BC160 40

应用 知识 回归 生活

想一想：小明妈妈买了一部29 英寸(74厘米)的电视 机，小明量了电视机的 屏幕后，发现屏幕只有 58厘米长和46厘米宽， 他觉得一定是售货员搞 错了。你同意他的想法 吗？你能解释这是为什 么吗？

46厘米 58厘米

课后探索做一个长，宽，高分别为50厘米，40 厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米 的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。