机械制图第三章 投影变换

第3章 投影变换 3.1 3.2 投影变换的方法 变换投影面法

3.1 投影变换的方法 3.1.1 变换投影面法(换面法)

几何元素保持不动，而改变投影面的位置， 使新的投影面与几何元素处于有利于解题的位 置。 新投影面的选择应符合以下两条件：

(1)新投影面投影面必须处于有利于解题的 位置。 (2)新投影面必须垂直于原来投影面体系中 的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。 3.1.2 旋转法 个 投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴 旋转到相对于 投影面处于有利于解题的位置。V X V1X1

V

XX1

V1

投影变换 的方法3

3.2 变换投影面法 3.2.1 变换投影面法的基本规律 1. 点的一次变换 v面- 旧投影面； a 1 -新投影； v1面-新投影面； a-不变投影； H面-不变投影面； x轴-旧投影轴； x1轴-新投影轴； a -旧投影；

点的一次变换(变换V面)

点的变换规律:1) 新投影与不变投影之间的连线始终垂直于 新投影轴，即a a 1⊥x1轴； 2) 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴 的距离，即 a 1ax1= a ax轴。 2. 点的二次变换

在变换投影面法中，有时变换一次还不能解 决问题，这时必须变换两次或更多次。5

在变换两个或两个以上的投影面时，点的新 投影的求法和原理与更换一个投影面时完全相 同。但必须指出，v面和H面必须交替变换。 如右图所示。

点的二次变换6

3.2.2

换面法中六个基本问题

1.将一般位置直线变换成新投影面 平行线 若求直线的实长及其与投影面的倾 角时，可用变换一次投影面来解决。

例1:求直线AB的实长及与H面的夹角 。 用V1面代替V面， 空间分析： 在V1/H投影体系中， 作图： AB//V1。a VA

V1

b

a 1b1X

a V H

b B

b aHV1.

X

aX1

H b

X1

a 1

●

●

b 1

换H面行吗？ 不行！

新投影轴的位置？ 应与ab平行。8

例2:已知直线AB的两投影ab、a′b′, 试求直线AB的实长和对V面的夹角β。

2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线

将投影面平行线变换成投影面垂直线， 只需变换一次投影面来解决。其目的是 为了使直线投影成为一个点，从而解决 与直线有关的度量问题(如求两直线间的 距离)和定位问题(如求线面交点)。

例3:已知水平线AB的两投影ab, a b′, 试把它变成投影面垂直线。

例4: 已知正平线AB的两投影ab, a b′, 试将它变成投影面垂直线。

3.将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面垂直线， 只经过一次换面是不能实现的，因为垂直 于一般位置直线的平面是一般位置平面， 它与原有的两个投影面均不垂直，不能构

成直角投影体系，所以必须经过两次换面。 首先将一般位置直线变成投影面平行 线，然后将投影面平行线变成投影面垂直 线。

例5: 将一般位置直线变换成投影面垂直线 先变换V面然后再换H面 作图： X2V

b H2a

A2(b2 ) ax2

b V1 X V H

b1B A

a b a.

a1

X

ba HX1

H ● X1 V1 a1

●

b1

a2 (b2 )

例6: 已知直线AB的V投影a b′和点A的H投影a, 实长为30mm,试完成该直线的H投影ab。 分析:由于一次换 面可将一般位置 直线变换成投影 面平行线，利用 已知直线AB=30, 先求出新投影 a1b1,然后再返 回求旧投影ab。15

作图步骤：1)在V面适当位置作 O1X1∥a b ; 2)求得点A的H1投影a1; 3)以a1为圆心，以30mm为半 a1 径画圆弧，与过b 垂直于O1X1 的直线交于两点b1、 b2 , 连a1b1,a1b2,即为实长；O1 30

b2b1 H1 X1 V bx1

30 ax1

b a ax a b216

4)过b 作直线垂直于OX轴，并量取 b1bx=b1bx1,b2bx=b2bx1,

X V H

bx

b1

O

连ab1、ab2,即为所求。(该题有两解)。