第六章 线性代数方程组的直接法

数值分析讲义

第六章

线性方程组 的直接解法

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问题驱动： 问题驱动：投入产出分析

投入产出分析是20世纪30年代由美国经济学家首先提出的， 投入产出分析是20世纪30年代由美国经济学家首先提出的， 20世纪30年代由美国经济学家首先提出的 它是研究整个经济系统各部门之间“投入” 产出” 它是研究整个经济系统各部门之间“投入”与“产出”关系的线性 模型，一般称为投入产出模型。 模型，一般称为投入产出模型。国民经济各个部门之间存在着 相互依存的关系， 相互依存的关系，每个部门在运转中将其它部门的成品或半成 品经过加工（称为投入）变为自己的产品（称为产出）， ），如何 品经过加工（称为投入）变为自己的产品（称为产出），如何 根据各部门之间的投入-产出关系，确定各部门的产出水平， 根据各部门之间的投入-产出关系，确定各部门的产出水平，以 满足社会的需求，是投入产出综合平衡模型研究的问题， 满足社会的需求，是投入产出综合平衡模型研究的问题，试讨论 如下简化问题。 如下简化问题。 设国民经济仅由农业、制造业和服务业三个部门构成， 设国民经济仅由农业、制造业和服务业三个部门构成， 已知某年它们之间的投入和产出关系、外部需求、 已知某年它们之间的投入和产出关系、外部需求、初始投 入等如表6.1.1所示（数字表示产值，单位为亿元） 6.1.1所示 入等如表6.1.1所示（数字表示产值，单位为亿元）。

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表中第一行数字表示农业总产出为100亿元，其中15亿元农产品 表中第一行数字表示农业总产出为100亿元，其中15亿元农产品 100亿元 15 用于农业生产本身，20亿元用于制造业 30亿元用于服务业 亿元用于制造业， 亿元用于服务业， 用于农业生产本身，20亿元用于制造业，30亿元用于服务业，剩 下的35亿元农产品用于满足外部需求。类似地可以解释第二、 35亿元农产品用于满足外部需求 下的35亿元农产品用于满足外部需求。类似地可以解释第二、三 行数字。第一列数字中，15亿元如前所述，30亿元是制造业对农 行数字。第一列数字中，15亿元如前所述，30亿元是制造业对农 亿元如前所述 业的投入，20亿元是服务业对农业的投入 35亿元的初始投入包 亿元是服务业对农业的投入， 业的投入，20亿元是服务业对农业的投入，35亿元的初始投入包 括工资、税收、进口等，总投入100亿元和总产出相等。 100亿元和总产出相等 括工资、税收、进口等，总投入100亿元和总产出相等。假定每 个部门的产出和投入是成正比的，由表6.1.1 6.1.1能够确定这三个部 个部门的产出和投入是成正比的，由表6.1.1能够确定这三个部 门

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