数学 第二部分 第五章 第1讲 圆的基本性质 [配套课件]

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第五章 圆

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第1讲

圆的基本性质

1.理解圆及其有关概念、了解弧、弦、圆心角的关系. 2.了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.

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考点1

圆的有关概念及性质

1.圆.定点 定长 的所有点组 (1) 平面上到__________ 的距离等于________

成的图形叫做圆.轴 对称图形，也是__________ 中心 对称图形. (2)圆是________ 三点 可确定一个圆. (3)不共线的________

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2.垂径定理及其推论. 平分 这条弦，并且______ (1)定理：垂直于弦的直径______ 平分 弦所 对的弧. (2)推论 1:

垂直 于弦，并且平分弦所对 ①平分弦(不是直径)的直径______弧 ； 的________ 圆心 ，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过______ 弦 ，并且平分弦 ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分_____ 所对的另一条弧.

弧 相等. (3)推论 2:圆的两条平行弦所夹的_____

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(4)垂径定理及其推论可概括为：

过圆心 垂直于弦 知二推三 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 3.圆心角、弧、弦的关系.圆心角 所对的弧相 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的__________ 等，所对的弦相等. 两条弧 、两条 (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、_______弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

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考点2

与圆有关的角及其性质

圆心 ，角的两边和圆相交的角. 1.圆心角：顶点在__________ 圆上 ，角的两边和圆相交的角. 圆周角：顶点在__________ 2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 一半 . 角相等，等于它所对的圆心角的________ 直角 ，90°的圆周角所对 推论：直径所对的圆周角是________ 的弦是直径.

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【学有奇招】 1.在应用垂径定理及其推论进行计算时，往往要构造直角 三角形，根据垂径定理及勾股定理进行求解. 2.圆中解题不要嫌，常把半径直径连；有弦可作弦心距， 肯定垂直平分弦；弧有中点圆心连，垂径定理要记全；直径是 圆最大弦，直圆周角立上边，直径如果垂直弦，垂径定理在手

边；还有与圆相关角，勿忘相互有关联，同弧圆周角相等，证题用它最常见.

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1.如图 5-1-1,AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，CD⊥

AB 于 E,则下列结论不成立的是( D )A.∠A=∠D

B.CE=DEC. ∠ACB=90°

D.BD=CE

图 5-1-1

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2.如图 5-1-2,⊙O 的弦AB垂直平分半径OC,若 AB= 则⊙O 的半径为( A )

, 6

图 5-1-2

图 5-1-3

3.如图 5-1-3,∠AOB=100°,点 C 在⊙O 上，且点 C 不 与点 A,B 重合，则∠ACB 的度数为( D ) A.50° B.80°或 50° C.130° D.50°或 130°

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4.如图 5-1-4,C 是劣弧 AB 的中点，过点 C 分别作 CD⊥

OA,CE⊥OB,点 D,E 分别是垂足，试判

断 CD,CE 的大小关系，并证明你的结论.

解：CD=CE.理由：连接 CO.∵C 是弧 AB 的中点， ,∴∠COD=∠COE. AC = BC ∴

图5-1-4

∵CD⊥AO,CE⊥BO,∴∠CDO=∠CEO=90°. 又∵CO=CO,∴△COD≌△COE. ∴CD=CE.

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垂径定理的简单应用

例题：(2013 年甘肃兰州)图 5-1-5 是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8 cm,水的最大

深度为 2 cm,则该输水管的半径为(A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm

)

图 5-1-5

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解析：如图5-1-5,过点O 作OD⊥AB 于点D,连接OA.1 1 ∵OD⊥AB,∴AD=—AB=—×8=4(cm). 2 2 设 OA=r,则 OD=r-2. 在Rt△AOD 中，OA2=OD2+AD2, 即r2=(r-2)2+42,解得 r=5 cm. 答案：C

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【试题精选】

1.( 2013 年黑龙江牡丹江)在半径为 13 的⊙O 中，弦 AB∥CD,弦 AB 和 CD 的距离为 7.若 AB=24,则 CD 的长为(

)

A.10

B.4 30

C.10 或 4 30

D.10 或 2 165

解析：如图 22,连接 OA,OC.作直线 EF⊥CD 于 E,交 AB1 于 F,则 EF⊥AB.∵OF⊥AB,OE⊥CD,∴AF=2AB=12,CE 1 =2CD.在 Rt△AOF 中，根据勾股定理，得 OF= 132-122=5.

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①如图 22(1),当 AB 和 CD 在圆心的两侧时，则 OE=EF -OF=2(cm).在 Rt△COE 据勾股定理，得 CE= 132-22= 165,CD=2 165. ②如图 22(2),当 AB 和 CD 在圆心的同侧时，则 OE=EF +OF=12(cm). 在 Rt△COE 据勾股定理， 得 CE= 132-122= 5,CD=10.则 CD 的长为 10 或 2 165.

(1) 答案：D

图22

(2)