二维线性系统分析傅里叶变换

第一章 二维线性系统分析Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换 三角傅里叶级数

恩格斯(Engels) 把傅里叶的数学成就 与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的辩证法相提并论. 他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑 格尔是一首辩证法的诗.

第一章 二维线性系统分析Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换 三角傅里叶级数满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(- ,+ )展为 三角傅里叶级数:

a0 g ( x) (an cos 2 nf0 x bn sin 2 nf0 x), 2 n 1

(n 0, 1, 2... ),

f0

1

t

展开系数a0

t

2

t

0

g ( x)dx

an

t

2

t

0

g ( x) cos( 2 nf 0 x)dx bn

t

2

t

0

g ( x) sin( 2 nf 0 x)dx

零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开

三角傅里叶展开的例子周期为t =1的方波函数1.2

0 0 -1.2 1 2 3 4 5

1 2f ( x)

2

cos( 2 x )

2 cos( 6 x) 3

前3项的和1/2

an

2/ 频谱图

1 2 2 cos( 2 x) cos( 6 x) ...... 2 3

…

fn

0

1

3

-2/3

三角傅里叶展开的例子练习 0-15:求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 宽度 =1/2 周期 t =1a0 an

t t

2

t

2 2

g ( x)dx 2

4 1 4

1

dx 14 1 4 1

f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)sin(2 nx) 1 / 4 n cos(2 nx)dx sinc 1/ 4 n 2

t t

2

t

2 2

g ( x) cos(2 nx)dx 2 2 2

bn

t t

2

t

g ( x) sin(2 nf0 x)dx 0

采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。

§1-2 二维傅里叶变换指数傅里叶级数满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(- ,+ )展为 指数傅里叶级数:

g ( x)

n

c

n

exp( j 2 nf0 x), (n 0, 1, 2... ),

f0

1

t

展开系数

cn

t

1

t

0

g ( x) exp( j 2 nf 0 x)dx

零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念

指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。

§1-2 二维傅里叶变换指数傅里叶级数思考题利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间 的关系：

a0 c0 , 2

an jbn cn , 2

c n

an jbn 2

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:

g ( x) Cn 1

n

C t 2 2

n

exp( j 2 n x)

1

t

n级谐波频率:n/t

t t

g ( x) exp( j 2 n x)dx

1

相邻频率间隔: 1/t

t

1 1 1 t 2 g ( x) t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t 2 n t展开系数Cn 频率为n/t的分量

§1-2 二维傅

里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:

1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t

g ( x) exp( j 2 fx)dx exp( j 2 fx) g ( x) df

展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn

由于t ∞ 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 写作df, 0, 求和 积分

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换写成两部分对称的形式:

G( f ) g ( x) exp( j 2 fx)dx

g ( x) G( f ) exp( j 2 fx)df

这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义及存在条件函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数

F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)dxdy

为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作: F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)], 或 f(x,y) F.T. F(fx,fy)f(x,y): 原函数, F(fx,fy): 像函数或频谱函数

积分变换:

F ( x) f ( ) K ( , x)d

傅里叶变换的核:

exp(-j2 fx)

变换核

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续)由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:

f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[j 2 ( f x x f y y)dfx df y

记作: 综合可写:

f(x,y)=

-1{F(f

x,fy)}. 显然

-1

{f(x,y)}= f(x,y)

F.T. f(x,y) F(fx,fy) -1 F.T.

f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对 x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同 的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续)

f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[j 2 ( f x x f y y)dfx df y

F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数 x, y, fx , fy 均为实变量， F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)振幅谱 位相谱

描述了各频率分量的相对幅值和相移.

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform广义 F.T.对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.对某个可变换函数组成的系列取极限 不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限 原来函数的广义F. T.

例: g(x,y)=1, 在(- , + )不可积可定义: g(x,y)=limt

rect(x/t)rect(y/t) {rect(x/t)rect(y/t)}

则

{g(x,y)}=lim

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