多元函数条件极值的解法探讨(2)

秒杀一切多元函数

教育园地

张秀芳———多元函数条件极值的解法探讨

第3期

里λ1，λ2，…，λm是一些固定的常数，这样我们就可以把这个条件转x2，…xn）=0在点（x1，x2，化为在一个条件下的极值问题。曲面φ（x1，

…xn）处的法向量为n=λ1鄣φλ2鄣φ+…+λm鄣φ+λ1鄣φλ2鄣φ+…

鄣x1鄣x1鄣x1鄣x2鄣x2

λm鄣φ+…+λ1鄣φλ2鄣φ+…+λn鄣φ2nnn

同样，设曲面φ（x1，x2，…xn）在点（x1，x2，…xn）处的切平面上的一个向量为（a1，a2，…an），则应有a1鄣φ+a1鄣φ+…+an鄣φ=0，即

12n

鄣φ+λ鄣φ+…+λ鄣φ鄣φ+λ鄣φ+…+λ鄣φa（+a（+…1λ12m2λ12m111212鄣φ1+λ鄣φ2+…+λ鄣φm+a（=0nλ12nnnn令a2=…an-1=0，得到λ1鄣φ1+λ2鄣φ2+…+λm鄣φm

nnaa1=-nn

λ11+λ22+…+λmm111从而我们得到一个向量λ1鄣φ1+λ2鄣φ2+…+λm鄣φm

nna，（-n0，an）消去an得到n0，

12mλ1+λ2+…+λm

111

（-λ1鄣φ1-λ2鄣φ2-…-λm鄣φm0，…，0，λ1鄣φ1+λ2鄣φ2+…+λm鄣φmnnn111同理，我们可得到另外n-2个向量解：椭圆的面积为πab，其中a，b分别是椭圆上的点到原点的

y，z）=x2+y2+z2在约束条件最大距离与最小距离。于是，即求f（x，

x+y+z=0

下的最大值与最小值。

x2+y2+4z2=1

φ1=x+y+z，φ2=x2+y2+4z2-1，鄣f=2x，鄣f=2y，鄣f=2z鄣φ=1，鄣φ=1，鄣φ=1；鄣φ=2x鄣φ=2y鄣φ=8z则代如方程组得到鄣鄣2x22x=λ1+λ·鄣12鄣鄣鄣鄣2y22y=λ1+λ·鄣鄣12鄣鄣鄣x+y+z=0鄣鄣鄣2

x+y2+4z2-1=0鄣

得到（x，y，z）的解分别为（1，-1，0），（-姨姨鄣

11，0），（），（-，

姨姨f在前两个点的值都是1，在后两个点的值都是1于是得到a=1，b=1；所以，所求椭圆的面积为πab=π。

姨姨容易看出，利用方向导数法和利用拉格朗日乘数法得到的结。

［参考文献］

[1]陈纪修.数学分析[M].高等教育出版社，2000.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等1993.

[3]唐军强.用方向导数发求解多元函数极值[M].科2008.

[4]张筑生.数学分析新讲[M].北京大学出版社,1990.

SolutiontoExploretheExtreme

ConditionsZhangXiu-ying

whenweresolvetheproblemof：Generally，

conditionsfunction，wealwaystransformitintoanextremeproblem.Thispaperintroducestheusemultipliermethodanddirectionderivativemethod

andmakesatheconditionalextremeproblem，

betweenthesetwomethods.

Keywords:conditionsfunction；conditionsextreme；；directionderivative；gradient