数学：3.1《数系的扩充和复数的概念》课件1(新人教A版选修1—2)

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第三章

数系的扩充与复数的引 入

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人类在数 数系的不断扩充体现了 .就像人类进入太 的认识上的深化 空实现了对宇宙认识的 飞跃一样 , 复数的引入是对数的认 识的一次 . 飞跃

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3.1 数系的扩充和复数的概 念

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3.1.1 数系的扩充和复数的概 念

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x , 思考 方程 2 +1= 0在实数中无解联系从自然 , 数系到实数系的扩充过程,你能设想一种方法 ? 使这个方程有解吗 , 回顾从自然数系逐步扩 充到实数系的过程可 以看到,数系的每一次扩充都与 实际需求密切 相关例如 为了解决 2 2 = 0 这样的方程在有 . , x , 理数集中无解 以及正方形对角线的度 量等问 .数系扩充 题, 人们把有理数系扩充到 了实数系 , , 运算、 后 在实数系中规定的加法 运算、乘法运算与 运算、 原来 在 有理数系中规定的加法 运算、乘法运 算协调一致: 加法和乘法都满足交换 律和结合 , . 律 乘法对加法满足分配律

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依照这种思想, 我们来研究把实数系进一步扩充 的问题.为了解决 x + 1 = 0这样的方程在实数系中无解2.

的问题, 我们设想引入一个新数i, 使i是方程x 2 + 1 = 0的根, 即使i i = 1.把这个新数i添加到实数集 中去, 得到一个新数集, 记作A,那么方程x 2 + 1 = 0 在A中就有解x = i了 我们从数集A出发, 希望新引进的数i和实数之间 仍然能象实数系那样进行加法和乘法运算, 并希 望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法 对加法满足分配律.

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依照以上设想 , 把实数 a与新引入的数 i 相加, 结果 记作 a + i ; 把实数 b与i相乘, 结果记作 bi ; 把实数 a与 实数 b和 i 相乘的结果相加 , 结果记作 a + bi, 等等.由 于加法和乘 法的运算律仍然应该成 立 , 从而这些 运算的结果都可以写成 a + bi (a, b ∈ R ) 的形式 , 应 把这些数都添加到数集 A 中去.再注意到实数 a 和 数i, 也可以看作是 a + bi (a, b ∈ R ) 这样的数的特殊 形式, 所以实数系经过扩充后 得到的新数集应该 是C = { a + bi | a, b ∈ R }.

a + i可以看作是 +1i,bi可以看作是 + bi,a可以 a 0 0 看是a + 0i,i可以看作 +1i.

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我们把集合 C = { a + bi | a, b ∈ R }中的数,即形如 a + bi(a, b ∈ R )的数叫做 复数 complex number ), ( 其中i叫做 虚数单位 (imaginary unit ).全体复数 所成的集合 C叫做 复数集 (set of complex nu mbers ).

(Euler )最早引用的 i 虚数单位是瑞士数学家欧拉 imaginary(想象的假想的一词的词头 , ) . 它取自C a 在复数集 = {a + bi | a,b ∈R} 中任取两个数 + bi, c + di(a,b,c,d∈R),我们规定: a + bi与c + di相等的充要条件是 = c且b = d. a

C R ? 思考 复数集 和实数集 之间有什么关系

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对于复数 a + bi,当且仅当 b = 0时, 它是实数 ; 当且仅当 a = b = 0时, 它是实数 0; 当 b ≠ 0时,叫做虚数 ; 当 a = 0, 且 b

≠ 0时,叫做纯虚数 .

1 1 , , 例如3 + 2i, 3i, 3 i, 0.2i都是虚数 2 2 1 3 它们的实部分别是 , , 3,0, 2 1 虚部分别是 2, 3, , 0.2, 2 . 并且其中只有 0.2i 是纯虚数

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显然, 实数集 R是复数集 C的真子集 ,即 R C. ≠这样, 复数 z = a + bi 可以 分类如下 : 复数 z 实数 (b = 0 ),虚数集复数集 纯虚数集

实数集

图 3 .1 1

虚数 (b ≠ 0 ), (当 a = 0时为纯虚数 ).

复数集 , 实数集 , 虚数集 , 纯虚数集之间的关系 , 可用图 3.1 1表示.

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, 例1 实数m取什么值时复数z = m + 1+ (m 1) i是 (1)实数? (2) 虚数? (3)纯虚数? , . 分析 因为m∈R,所以m + 1m 1 都是实数 由复数 z = a + bi 是实数、虚数和纯 是实数、 虚数的条件可以确定 m的取值 .

解 (1) 当m 1 = 0, 即m = 1 时,复数z是实数 ; (2) 当m 1 ≠ 0,即m ≠ 1时,复数z是虚数 ; (3) 当m + 1 = 0 ,且m 1 ≠ 0 ,即m = 1时,复数 z 是纯虚数 . , , 最后还要指出的是一般地说 两个复数只能说 ,而不能比较大小 .例如 + i与 + 3i 1 2 相等或不相等 . 不能比较大小