2011年精锐教育高中数学学科教师专业知识竞赛(试卷)

精锐教育上海学科教师专业知识竞赛

数学试卷（高中）

(满分150分，考试时间90分钟)

学科教师请注意：

1． 答卷前，务必在答题纸上将姓名、校区及手机号码填写清楚．

2． 本试卷共有19道试题，满分150分．考试时间90 3． 禁止用微积分解题，否则，一律视为零分．

一、填空题 (本大题满分55分) 本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．《2011年上海高考数学考试手册》要求，所研究的幂函数y x

中幂指数 ． 2．函数y sin(

4

2x)的单调递增区间是 ．

3．若(1 x)

10

a0 a1(1 x) a22(1 x) a10(1 x)10，则a8=．

4．已知钝角 ABC的最长边为2，其余两边的长分别为a,b，则集合P {(x,y)|x a,y b}所表示的平面图形面积等于 ．

5．已知ABCD是梯形，AB//CD，且AB 2CD，M、N分别是CD和AB的中点，已知AB a

，AD b ，用

a ,b

表示MN为

6．曲线 x sin

( 为参数)与曲线 sin a有两个公共点，则实数a的取值范围是 ． y sin2

x27．若实数m,n { 1,1,2,3}，且m n，则曲线m y2

n

1表示焦点在y轴上的双曲线的概率是 ． 8．有三个球和一个正方体的框架，第一个球过正方体的八个定点，第二个球与正方体的十二条棱都相切，第三个球

与正方体的各个面都相切，则这三个球的体积之比为 ．

9．已知函数f(x)定义在R上，存在反函数，且f(9) 18，若y f(x 1)的反函数是y f

1

(x 1)，则

f(2011)= ．

10．已知命题： （1）函数f(x)

1

lgx

在(0, )上是减函数； 2（2）函数y

x 55x2 的最小值是

2

； 4

（3）在平面内，到定点(2,1)的距离到定直线3x 4y 10 0的距离相等的点的轨迹是抛物线；

精锐教育网站：http://www.77cn.com.cn - 1 - （4）函数f(x) 2sinxcos|x|的最小正周期是 ；

（5）已知 a 3,4 ， b 0, 1 ，则 a在b

方向上的投影为4．

其中，正确命题的序号是 ．

11．对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数a2

1,b1,c1和a2,b2,c2都是非零实数，方程a1x b1x c1 0和

a2x2 b2x c2 0在复数集上的解集分别是A和B，则“

a1b1c1

a b ”是“A B”的充分必要条件．试对两22c2

个一元二次不等式的解集写出类似的正确的结果．

二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分． 12．用样本数据1,2,3,4,5估算总体的方差为（ ）

A．5

2

； B

C．2； D

13．a 3是直线ax 2y 3a 0与直线3x (a 1)y a 7平行的（ ）

A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件； D．非充分非必要条件．

14．若3sinx 4cosx 5cos(x )，则tan 的值是（ ）

A．43； B． 4333； C．4； D． 4

．

15．已知O是平面上的一个定点，A,B,C是平面上不共线三个点，动点P满足

OP OA

(|ABAB|cosB |ACAC

|cosC

), (0, )，则动点P的轨迹一定通过 ABC的（ ） A．重心； B．垂心； C．外心； D．内心．

三、解答题（本大题满分75分）本大题共4题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 16．(本小题满分16分) 本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分10分．

如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

DAB 600AB 2AD,PD 底面ABCD.

（1）证明：PA BD；

（2）若PD AD，求二面角A PB C的余弦值．

精锐教育· 考试研究院

函数f(x) 4x2 7

2 x

,x [0,1]．

（1）求f(x)的单调区间和值域；

（2）设a 1，函数g(x) x3

3a2

x 2a,x [0,1]。若对任意x 1 [0,1]，总存在x0 [0,1]，使得g(x0) f(x1)成 立，求实数a的取值范围．

18．（本题满分20分）本题共有3个小题，第1个小题满分5分，第2个小题满分7分，第3个小题满分8分．

若数列 满足|a k 1 ak| 1(k 1,2, ,n 1)，数列An为E数列，记S(An)=a1 a2 ... an. （1）写出一个E数列A 5满足a1 a3 0；

（2）若a 1 12，n 2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011； （3）在a 1 4的E数列An中，求使得S An 0成立的n的最小值．

19．（本题满分21分）本题共有2个小题，第1个小题满分4分，第2个小题满分17分．

已知抛物线C:y2

2px(p 0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.

（Ⅰ） 求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设直线y kx b(k 0)与抛物线C交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且|y1 y2| a（a 0，且a为常 数）. M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，得到 ABD；再分别过弦AD、BD 的中点作垂直于y轴的直线依次交抛物线于点E,F，得到 ADE和 BDF，并按此方法继续下去.解决下列问题：

（1）求证：a2

16(1 kb)

k

2

； （2）计算 ABD的面积S ABD；

（3）根据 ABD的面积S ABD的计算结果，写出 ADE和 BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所

围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．

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