高三一轮复习平面向量的数量积

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第三节

平面向量的数量积与平 面向量应用举例

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

[主干知识梳理] 一、两个向量的夹角 1.定义 → → 已知两个非零向量 a 和 b,作OA=a,OB=b, 则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角.

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2.范围 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ,a与b同向时，

夹角θ=3.向量垂直

;a 0与 °b反向时，夹角θ=

. 180°

如果向量a与b的夹角是 90° ,则a与b垂直，记作a⊥b .

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二、平面向量数量积

1.已知两个非零向量a与b,则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b,即a·b= 规定0·a=0. 当a⊥b时，θ=90°,这时a·b= 2.a·b的几何意义： 0 . |a||b|cosθ ,其中θ是a与b的夹角.

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影乘积. |b|cosθ

的

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三、向量数量积的性质 1.如果 e 是单位向量，则 a· e=e· a.

b=0 . 2.a⊥b a·2 | a | 3.a· a= ,|a|= a· a.

a· b 4.cos θ = .(θ 为 a 与 b 的夹角) |a||b| 5.|a· b| ≤ |a||b|.

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四、数量积的运算律a . 1.交换律：a· b= b· 2.分配律：(a+b)· c= 3.对λ∈R,λ(a· b)= a· c+b· c (λa)· b = . a· (λb) .

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五、数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则： 1.a· b= a1b1+a2b2 . 2.a⊥b a1b1+a2b2=02 3.|a|= a2 + a 1 2.

.

a1b1+a2b2 a· b 4.cos θ = = 2 2 2 2.(θ 为 a 与 b 的夹角) |a||b| a1+a2 b1+b2

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[基础自测自评] 1.已知向量 a,b 和实数 λ,下列选项中错误的是 ( A.|a|= a²a C.λ (a· b)=λa· b B B.|a²b|=|a|· |b| D.|a²b|≤|a|· |b| )

[|a· b|=|a|· |b||cos θ|,只有 a 与 b 共线时，

才有|a· b|=|a||b|,可知 B 是错误的.]

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2.已知|a|=4,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120°,则 b 在 a 方向上 的投影为( A.2 C.-2 D ) 3 B. 2 3 D.- 2

3 [|b|cos θ=3cos 120°=- .] 2

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3.(2012· 重庆高考)设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2), 且 a⊥b,则|a+b|= ( A. 5 C.2 5 B B. 10 D.10 )

[∵a⊥b,∴a· b=0,即 x-2=0,∴x=2.

∴a=(2,1),∴a2=5,b2=5,|a+b|= (a+b)2 = a2+2a· b+b2= 5+5= 10.]

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4.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°,|a|=2,|b|= 3,则向量

a 和向量 b 的数量积 a· b=________. 解析 答案 3 a· b=2³ 3³ =3. 2 3

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5.已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角θ = ________. 解析 ∵ a· (b-a)=a· b-a2=2,

∴a· b=2+a2=3. a· b 3 1 ∴cos θ= = = . |a|· |b| 1³6 2 π ∴向量 a 与 b 的夹角为 . 3 答案 π 3

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[关键要点点拨]1.对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向 量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动， 使其起点相同，再观察夹角. (2)两向量夹角的范围为[0,π],特别当两向量共线且同向 时，其夹角为0,共线且反向时，其夹角为π.

(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围.

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2.向量运算与数量运算的区别 (1)若a,b∈R,且a·b=0,则有a=0或b=0,但a·b=0却

不能得出a=0或b=0.(2)若a,b,c∈R,且a≠0,则由ab=ac可得b=c,但由a· b =a· c及a≠0却不能推出b=c.

(3)若a,b,c∈R,则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量a,b,c,而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量 的数量积是不满足结合律的. (4)若a,b∈R,则|a·b|=|a|·|b|,但对于向量a,b,却有 |a· b|≤|a||b|,等号当且仅当a∥b时成立.

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平面向量数量积的运算 [典题导入]

(1)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)· c=30,则x=( A.6 C.4 B.5 D.3 )

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[听课记录]

8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),

所以(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=30.

即18+3x=30,解得x=4. 答案 C