华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案(4)

华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案一

解：补 1:z 0取下侧，则构成封闭曲面的外侧

(x y)dydz (y z

2

22

)dzdx (z x2)dxdy

2

1

1

2x2 y23

1 1 1 dv xdxdy 3dv xdxdy 3 1 dxdy

32 1 DD1

2

2

2

1419 3

d rdr 2 r 04400

1

2y 2ys

十、（本题8分）设二阶连续可导函数y f(x)，求y f(x)． x 适合2 42 0，

t t s

y s y1解： f 2, f

tt st 2y s 2s s 2y 1 1

2f 3f f 2 ,2 f 2f 2 t t t s t t t t s 2y 2y2s4 s

由已知2 42 0, 3f f 2 2f 0,

t st t t

即x 4f x 2xf x 0, x 4f x 0,x 4f x c1

2

2

2

2

2

f x

c1c1x

,fx arctan c2 x2 422

十一、（本题4分）求方程的y 4y cos2x通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为r 4 0,r1,2 2i

x

非齐次项f x cos2x,，与标准式f x e Pm x cos x Pl x sin x

2

比较得n max m,l 0, 2i,对比特征根，推得k 1，从而特解形式可设为

xy* xk Qxcos x Qxsin xe axcos2x bxsin2x, 1n2n

y* (a 2bx)cos2x (b 2ax)sin2x,y* ( 4a 4bx)sin2x (4b 4ax)cos2x代入

方程得 4asin2x 4bcos2x cos2x, a 0,b

1

4

y c1cos2x c2sin2x

2

1

xsin2x 4

2

2

2

十二、（本题4分）在球面x y z a的第一卦限上求一点M，使以M为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.