初中数学一题多变一题多解(六)

一题多解，一题多变（六）

中考几何母题的一题多解(多变) 一、三角形一题多解

如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。 证法一

证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B

∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM

则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二

证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B

∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM

则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二

证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM， 又 ∠4=∠3 ∠5=∠E

所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。 二、平行四边形一题多解

如图4

，

平行四边形

ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.

证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800

，故∠

3+∠4=900

，

表明∠COD=900，所以DF⊥CE。

证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。

证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,

则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。

证法四、如图7，作DG∥

CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从

而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE

四\一题多解、多变《四边形面积》

1. 如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影

都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面积是多少。 解法一

将大矩形进行平移将平行四边形 进行转换。

图2

(a-c)(b-c) 解法二

重叠面积为c的平方，大矩形面积为ab，小矩形为ac，平行四边形为bc，阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c）（b-c）

2如图所示一个长为500dm宽为300dm的花坛要修两条过道，两条过道一样宽，花坛面积1340平方米，求过道宽。

方法一：将大矩形进行平移将平行四边形进行转换。 解：1500-80x=1340

X=2 过道宽两米。 方法二：

解：（300-x）（500-x）=1340

X=2 过道宽两米

五\正方形一题多变

1已知正方形ABCD ， EOF=90`，O是对角线交点，点E F 在BC ，CD上 ，求证 EO=FO 证

明

四边形ABCD是正方形

BO=CF

k

图2

A

D

FC

BOC=-90 OBE= COF 又 EOF=90`

E

m

BOE= COF

变式一

△BOE≌△COF

EO=FO

已知正方形ABCD ， EOF=90` ，O是对角线交点，点E F 在BC ，CD边延长线上 ，求证 EO=FO 证

明

四边形ABCD是正方形

BO=CF BOC=-90

A

D

OBE= COF 又 BOE= COF

变式二

EOF=90`

△BOE≌△COF

EO=FO

ME

CF

N

已知正方形ABCD，O 是AC任意一点 BOF=90`点E 在BC边上 ，求证 BO=EO 过O作ON， OM AB，DC

四边形ABCD是正方形

B

C

OCM=45

又

ON， OM AB，

DC MO=CM=NB

ONB= OMC

MOE= NBO

△MOE≌△

NBO BO=EO

参考答案

如图：已知梯形ABCD，AD∥BC,，以AB、BD为边，作平行四边形ABDE，AD的延长线交CE于F。求证：EF=FC.

证法一 ∵AD∥BC

∴将AB平移到DC 由平行四边形ABDE ∴AB∥=DE ∵DG∥=AB ∴DG=ED

∵AD

∥BC, 即DF∥BC ∴EF=FC

证法二

连接BE交AD于O ∵平行四边形ABDE ∴OB=OE

∵AD∥BC, 即OF∥BC 中位线 ∴EF=CF