错位相减法在高考数列求和中的应用

对于已知的等差、等比数列的求和问题,我们可以使用求前n项和公式来解决,但对于一些特殊的数列,我们怎样来求它们的和呢？本文将阐明一种特定数列的求和方法——错位相减法.

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错位相凛法在高考数列求和巾硇应用安徽宿州市朱仙庄煤矿中学( 3 1 1马传虎 24 1 )对于已知的等差、比数列的求和问题，们可等我( )数歹{ 的丽 坝和 7 2求 U舰 )’ .

以使用求前项和公式来解决，但对于一些特殊的数列，我们怎样来求它们的和呢？本文将阐明一种特定数列的求和方法——错位相减法 . 在数列{中，数列{是以 n为首相， d n}若 n} t以 为公差的等差数列，若数列{}以 b首相，比 是为公

解：1由+一2 () l又 Sl日— 1一 1,

s+—3 1

一3,

所以数列{} 是首项为 1公比为 3的等比数，列： 一 n ) S一3 ( EN .

为 q的等比数列，≠1则求数列{ 的前项和，。 b}我

当≥ 2时， 2 1 n一 S一—2 ( 2,‘ 3≥ ) .n一 .

们可以使用错位相减法.事实上， S由一 ab++ ab l1 22+ nb 33+…+n一b 1 ① ln十&b,可得 q n b++ n b十 n b+…+口一+ S一 12 23 34 l b

{ 31 . f”一z, 2 2 1一；,≥.

( )为一口+2 2 a+ 当一 1, l 2因 1 a+3 3口，时 T一

1当≥ 2时，一 1; 十4 。 6 2 3 3+ 3+ n 一，3一 3 4 3+ 6 3+ 2 3 T¨+ n一，。 .一

ab . .②两式相减得 (~ q S一 nb+ d b+ b+…+ 1 ) (26 1 + )日 b q一…

.

2一~ 2 4 2 3+ 3+3 T.++ ( ) 2 3一一 n .,

一一 1 (— 2 )+ 1”3

可得S, ( b+ d(￣ b+"+ b I b ) a b q( . 2 l - 1 b+ 3 .￣ . - .o q a1 .￣ )"

., .一+ (一 3 ( 2 . 1)一≥ ).

又当= 1时，

q

上式也成立. . .

上面是能使用错位相减法的数列模型.纵观近几年的高考试题，于数列的求和问题，能应用到错对常

一

专 (告3”N)+” ) E 一一( .

位相减法 .因此笔者认为有必要把这种方法

单独拿出 来作为一个专题来讲解，以引起教者和学习者的重视.

【 3 (0 7全国){是等差数列， )例 1 20,设Ⅱ){是 各项都为正数的等比数列，Ⅱ— b一 1口+b—且 ,。 52 .j 6— 1. 1Ⅱ+ 3 3

【 2 (0 7江西 ){为等比数列，一1例】 20,设 n}Ⅱ ,nz 3一 .

(求{、b} I)口}{的通项公式； (求数列{}Ⅱ) 的前项和 s . 解： I){的公差为 d{}公比为 q则 (设口},的，

( )最小的自然数，Ⅱ≥ 2 0; 1求使 0 7( )和： 2一 1 2求丁 “1 U2

+… . 一.

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“ 21,

依题意有 q, 1>。且/

l 2+= 21,+ d q 41+ 4+一

解： 1由已知条件得一1 ( )一 3 ()坐一一，因为 3< 2o< 3,以， 。7所使≥ 20 0 7成立的最小自然数一8 .

1, 3

解得一 2q .,一2所以Ⅱ一 1 ( - 1 d n 1 + m- )一2 -,b一一 2 .一

(因一一+一… , 2为{ 毒+一 ) 3…………

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【 3 ( 0 7福建 )列{的前项和为例 1 20,数 n}S¨Ⅱ一 1口 l 2 (∈ N ) l, 一 an” . — z z×+

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( )数列{的通项口； 1求 n}