中国矿业大学研究生数理统计复习

中国矿业大学硕士05级统考试卷

数 理 统 计

时间：120分钟        2005-12-17 

学院 专业 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七

总

分得分

一．（10分）设总体X服从正态分布N(12,4)，今抽取容量为16的一个样本X1,X2,L,X16，试问：

（1）（4分）样本均值X的绝对值大于13的概率是多少？

（2）（6分）样本的极大值X(16)=max(X1,X2,L,X16)（最大顺序统计量）大于16的概率是多少？

二．（12分）设总体X的概率分布为

X

-1

0 1

2

p

其中θ(0<θ<

θ2

2θ(1 θ)

θ2 1 2θ

1

)是未知参数,利用总体X的如下样本值 2

1 0 -1 0 2 2 -1 1

（6分）求θ的最大似然估计值。 （1）（6分）求θ的矩估计值； （2）三．（15分）设X1,X2,Λ,Xn是从总体X抽取的一个样本，X的密度函数为

x

1

θ

e,x>0f(x)= θ

0,x≤0

,θ>0

证明样本均值X是未知参数θ的无偏、有效、一致估计量；

四．（12分）设X1,X2,Λ,Xn是来自正态总体N(μ,σ)的样本, 方差σ2未知，总体均值μ的置信度为1 α的置信区间的长度记为L，求E(L)。

五．（15分）为研究矽肺患者肺功能的变化情况, 某医院对I,II期矽肺患者各25，16名测其肺活量, 得到I期患者的平均数为2700毫升, 标准离差为150毫升; II期患者的平均数为

4

2

2830毫升, 标准离差为120毫升. 假定第I,II期患者的肺活量服从正态分布N(μ1,σ12)、

2

N(μ2,σ2), 试问在显著性水平α=0.05下, 第I,II期矽肺患者的肺活量有无显著差异？

六．（16分）考察4种不同类型的电路对计算机的响应时间的影响，测得数据如下： 电路类型

响 应 时 间

经计算：

2x1g=94，x2g=141，x3g=92，x4g=59；xgg=386，x=21.4444，∑∑xij=8992

i

j=14

ni

设各测量值总体服从同方差的正态分布，试用方差分析法检验各类型电路对响应时间有无显著影响(α=0.05)？

七．（20分）为进行病虫害预报, 考察一只红铃虫一代产卵量Y(单位：粒)与温度x（单位：0C）的关系, 得到资料如下：

x

Y

18 20 24 26 30 32 35 7 11 21 24 66 115 325

假设Y与x之间有关系

Y=aebx+ε, ε~N(0,σ2).

经计算：x=26.43，lny=3.612，

∑x

i=1

7

2

i

=5125，∑(lnyi)=102.43，∑xilnyi=718.64

2

i=1

i=1

77

=a e； （1）（6分）求Y对x的曲线回归方程y

2； （2）（5分）求σ2的无偏估计σ

（3）（6分）对回归方程的显著性进行检验（α=0.05）； （4）（3分）求当温度x0=33时,产卵量Y0的点估计。 可能用到的数据：

xb

z0.0228=2，

F0.025(25,16)=2.62，F0.025(24,15)=2.70，F0.025(16,25)=2.38，F0.025(15,24)=2.44，t0.025(39)=2.0227，t0.05(39)=1.6849，t0.025(41)=2.0195，t0.05(41)=1.6829 F0.025(3,14)=4.24，F0.05(3,14)=3.34，t0.025(5)=2.5706，t0.05(5)=2.015 t0.025(7)=2.3646，t0.05(7)=1.8946，F0.05(1,5)=6.61，F0.05(1,7)=5.59

时间：120分钟 2006-12-24

教师 学院 专业 学号 姓名 题号 得分

一

二

三

四

五

六

七

八

总 分

一、简要回答下列问题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 1．X1,X2,L,Xn是来自正态总体Nμ,σ

(

2

)的样本，其中参数μ和σ

S

tα(n 1)] n

2

均未知，对于参

数μ的置信度为1 α的置信区间，试问当α减少时该置信区间的长度如何变化？

答：则μ的置信度为1－ α的置信区间[±

置信区间的长度L=

2Sn

tα2(n 1)，当样本容量给定时，减小α的值会增大tα2(n 1)的

值，相应地L=

2Sn

tα2(n 1)变长。

2．基于小概率事件原理的显著性假设检验不免可能会犯两类错误：

α：第一类错误 β：第二类错误

（1）解释这两类错误；（2）说明α和β如何相互影响以及样本容量n对它们的影响。 答1.P{第一类错误}=P{拒绝H0|H0为真}， P{第二类错误}=P{接受H0|H0为假} 2. 当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增；要同时降低 ， ，需要增加样本容量.

二、（12分）设X1,X2,L,Xn是正态总体X~N(μ,σ)的样本， 1．试问

2

1

σ

2

∑(X

i=1

n

i

μ)2服从什么分布（指明自由度）？

1

n

n

Xi μ

σ

~N(0,1)且独立，

σ2

∑(Xi μ)=∑(

2

i=1

i=1

Xi μ

σ

)2~χ2(n)

2．证明X1+X2和X1 X2相互独立；

X1+X2~N(2μ,2σ),X1 X2~N(0,2σ)，（X1+X2，X1 X2）服从二维正态分布二者的协方差为

2

2

COV（X1+X2,X1 X2)=COV(X1,X1) COV(X1,X2)

+COV(X2,X1) COV(X2,X2)=D(X1) 0+0 D(X2)=σ σ=0

2

2

故X1+X2和X1 X2不相关, 而（X1+X2，X1 X2）服从二维正态分布不相关和独立是等价的，故X1+X2和X1 X2相互独立。

(X1+X2)2

的分布。 3．假定μ=0，求2

(X1 X2)X1+X2~N(0,2σ2),X1 X2~N(0,2σ2)

X1+X2

2σ

~N(0,1),

X1 X2

2σ

~N(0,1)(

X1+X2

2σ

2~χ(1),(

X1 X2

2σ

2~χ(1)

又(

X1+X2

2)2和(

X1 X2

22相互独立，故 …… 此处隐藏：8106字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……