信号与线性系统分析 第四章 连续系统的频域分析 4-6

信号与线性系统分析

§4.6 周期信号的傅里叶变换 正弦信号的傅里叶变换 正弦信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换 如何由 0(ω)求F(nω1) 如何由F 如何由 求 单位冲激序列的傅氏变换 单位冲激序列的傅氏变换 周期矩形脉冲序列的傅氏变换 周期矩形脉冲序列的傅氏变换

西安邮电学院电子工程学院 2010.4

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第

引言周期信号： 周期信号：

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f ( t ) 傅 叶 数 ( n ) 里 级 F非周期信号： 非周期信号：

离 谱 散

f ( t ) 傅 叶 换 F ( jω) 里 变周期信号的傅里叶变换如何求？ 周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？ 与傅里叶级数的关系？

连 谱 续

周期 f (t ) 统一的分析方法： 叶变换 统一的分析方法：傅里 非周期

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第

一.正弦信号的傅里叶变换由欧拉公式

3 页

1 jω0t jω0t cosω0t = e + e 2已知 由频移性质

(

)

1 jω0t jω0t sin ω0t = e e 2j

(

)

1 2 δ (ω) π

1 e

jω 0 t

2πδ(ω ω0 )

1 e

jω0 t

2πδ(ω + ω0 )

∴cosω0t πδ (ω + ω0 ) + πδ (ω ω0 )同理

sinω0t jπ δ (ω ω0 ) + jπ δ (ω +ω0 )

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第

频谱图cosω0t π[δ (ω +ω0 ) + δ (ω ω0 )] cosω0t 频谱图 :(π ) ω0F (ω )

4 页

(π )O

sinω0t jπ δ (ω ω0 ) + jπ δ (ω +ω0 ) sinω0t 频谱图 :F (ω )

ω0

ω

(ω)

(π ) ω0 o

(π )ω0ω

π2

ω0

ω0 o π 2

ω

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二.一般周期信号的傅里叶变换傅里叶级数的指数形式： 傅里叶级数的指数形式： 其傅氏变换： 其傅氏变换：

Fjn t n

第 5 页

fT(t ) =

n= ∞

∑F e

∞

F(1)

F

F( 谐波频率)

fT (t )的频谱由冲激序列组成 置:ω = n ;位强度：2πFn , 与Fn 成正比，离散谱 π 成正比， 强度

(2) 谱线的幅度不是有限值,因为F( jω)表示的是频谱密度。 表示的是频谱密度。, ∞ 频率范围无限小幅度为 。

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第

求周期性矩形脉冲信号的频谱函数。 例1 求周期性矩形脉冲信号的频谱函数。

6 页

n τ 解 F = Sa( ) n T 2n τ FT[ pT (t)] = 2π ∑ Sa( )δ (ω n ) T n= ∞ 2∞

ττ

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第

Fn与F( jω)比较 形状相似，含义不同 形状相似，

7 页

Fn 虚指数分量的幅度和相位 F( jω) 频谱密度Eτ TFn

2π2 O

τ

ω

ω

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第

周期性单位冲激函数序列的傅里叶变换 例2 周期性单位冲激函数序列的傅里叶变换

8 页

δT (t) =

m= ∞T 2 T 2

∑δ (t mT)L T

∞

δT (t )

(1)O

L t

1 1 jn t 解 Fn = ∫ δT (t)e dt = T T

T δ (ω) ( )

2π FT[δT (t)] = ∑δ (ω n ) T n= ∞∞

= ∑δ (ω n ) = δ (ω)n= ∞

∞

2 0

2 ω

δ (ω) = ∑δ (ω n )n= ∞

∞

δT (t) δ (ω)

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第

三.

如何由 F0 ( jω) 求FnF f F 即单个脉冲的 0 ( jω )与周期信号T ( t )的谱系数 n的关系 f0 (t ) fT (t )o T

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设 f0 (t ) F0 ( jω)F0 ( jω) = ∫T/2 T / 2

T 2

T 2

t

o∞

T

tjn t

f0 (t )e

jω t

dt

fT ( t ) = ∑Fne n= ∞ 1 T/2 jn t Fn = ∫ fT ( t )e dt T T / 2ω = n

比较: 比较

1 T T 在 , f0(t) 与 fT(t) 相同 所以 n = F( jω ) 内 F 0 2 2 T

可由F( jω ) 求周期函数fT(t )的谱系数F 0 n

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第

方法1 方法 F0 ( jω) → Fn → F( jω)f0 ( t ) → fT ( t )①

10 页

1 F0 ( jω) → F = F ( jω) n 0 T④

②b

③

ω = n

F( jω) = ∑ F0 ( jω)δ(ω n )n= ∞

∞

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第

例：周期单位冲激序列的傅里叶变换

11 页

∴δT (t )的 氏 数 系 傅 级 谱 数1 F = n T 1

Q δ (t ) 1

δT( t)

L (1) (1) (1) (1) (1) L 2T T o 1 11 T1

T 2T 1 1F nL 2

t

F [δT(t )] = 2π ∑Fδ(ω - nω) nn= ∞

∞

L 2

o

ω

= ∑ δ (ω n ) = δ (ω)n= ∞

∞

F( jω)

激序列， δT( t )的频谱密度函数仍是冲 激序列， 强度和间隔都是 。

L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lo 2 2

ω

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第

方法2利用时域卷积定理，周期 利用时域卷积定理，周期T

12 页

f

T

(t) = f0 (t) δT (t)∞ n= ∞

F( jω ) = F( jω ) ∑δ(ω n ) 0利用冲激函数的抽样性质

F( jω) = ∑F0 ( jω)δ (ω n )n= ∞

∞

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方法2f0 (t)

δT (t)(1)

-τ/2 0 τ/2 t τ

-2T

-T

0

T

2T

t

fT (t)

-2T∞

-T

0

T

2T

t

fT (t) = ∑ f0 (t nT) = f0 (t) δT (t)FT[ fT (t)] = F0 ( jω) ∑δ (ω n )= n= ∞

n= ∞ ∞

n= ∞

∑F ( jn )δ (ω n )0

∞

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第

例2.周期矩形脉冲序列的傅氏变换f (t )

14 页

E

L

L

T1

τo2

τ2

T1

t

方法1 方法1 ωτ …… 此处隐藏：940字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……