第6章课后习题答案

第六章 习题解答

习题6-1

4. 设总体X~N(75,100),X1,X2,X3是来自总体X的容量为3的样本，求 （1）P{max(X1,X2,X3)≤85}

（2）P{(60<X1<80)∪(75<X3<90)} （3）P(X1+X2≤148)

解 （1）P{max(X1,X2,X3)≤85}=P(X1≤85)P(X2≤85)P(X3≤85)

X 7585 75 33

=[P(X≤85)]= P(≤) =[Φ(1)]=0.84133=0.5955

1010

（2）P{(60<X1<80)∪(75<X3<90)}

3

=P(60<X1<80)+P(75<X3<90) P(60<X1<80)P(75<X3<90)

=Φ(

80 7560 7590 75 Φ()+Φ( 101010

Φ(

75 75 80 7560 75 90 7575 75 ) Φ( Φ( Φ( Φ() 101010 1010

=Φ(0.5) Φ( 1.5)+Φ(1.5) Φ(0) [Φ(0.5) Φ( 1.5)][Φ(1.5) Φ(0)]

=0.6915 (1 0.9332)+0.9332 0.5 [0.6915 1+0.9332][0.9332 0.5]=0.7873

（2） 由样本性质及正态变量的线性组合仍是正态变量 故E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=75+75=150

D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=100+100=200

从而X1+X2~N(150,200),因此P(X1+X2≤148)=Φ(

148 150

200

=1 Φ(

习题6-2

2

=1 0.5557=0.4443 10

2. 设X~χ(n)，证明：E(X)=n，D(X)=2n

2

证明 因X~

χ2(n)，故X可以分解为n个相互独立的服从标准正态随机变量

2

X1,X2,L,Xn的平方和，即X=X12+X22+L+Xn，其中Xi~N(0,1) i=1,2,Ln，

再由期望的性质得

22E(X)=E(X12)+E(X2)+LE(Xn)=nD(X1)+E2(X1)=n(1+0)=n

[]

另外由期望的定义及分部积分公式可导出： 若Y~N(0,1)，则E(Y)=(k 1)(k 3)L3 1

22所以 D(X)=D(X12)+D(X2)+LD(Xn)=nE(X14) E2(X12)=n(3 1)=2n

16

k

[]

5. 设X1,X2,L,X16是来自总体N(2,1)的样本，而Y=

∑(X

i=1

i

2)2，则

（2）若Z~

N(0,1)（1）Y~ ；

~ . 解（1） 因X1,X2,L,X16是来自总体N(2,1)的样本，由样本的性质得

Xi~N(2,1)（i=1,2,L,16)且相互独立，所以(Xi 2)~N(0,1)，从而

(Xi 2)~χ(1)，故Y=∑(Xi 2)2~χ2(16)

2

2

16

i=1

(2)由t分布的构造知习题6-3

Z

~t(16)~t(16) 1.设总体N50,σ2中随机抽取一容量为16的样本，在下列两种情况下分别求概率（2）未知σ2，而样本方差S2=36. P(47.99≤X≤52.01). (1)已知σ2=5.52；解 （1）由于已知σ2=5.52，故由定理1得

(

)

X 505.≤

~N(0,1)，所以

P(47.99≤X≤52.01)=P(

47.99 505.≤

X 505.552.01 505.5)

=Φ(

2.01×4 2.01×4

Φ(≈2Φ(1.46) 1=0.8556 5.55.5

X μS

n

=

（2）由于未知σ2，故由定理3得T=

X 50~t(n 1)，所以

P(47.99≤X≤52.01)=P(

=

47.99 506

≤

X 506

≤

52.01 506

)

（反查表）1 2×0.1=0.8 P(T≤1.345)=1 2P(T>1.345)=

2

2．在总体N(μ,σ)中随机抽取一容量为10的样本，若μ和σ2均未知，求

P(S22≤1.88)，其中S2为样本方差.

解 由定理2知χ=

2

(n 1)S2

σ

2

~χ(n 1)=

2

χ2(9)，所以

P(S22≤1.88)=P(9S22≤16.92)=P(χ2≤16.92)=1 P(χ2>16.92)

=(查表）1 0.05=0.95

3．设X1,X2,L,Xn是来自总体N(μ,σ)的样本，

（1）

2

1

σ

2

∑(X

i=1

n

i

μ)2所服从的分布；

σ21n ≤∑(Xi μ)2≤2σ2 . （2） 当n=16时，求P

ni=1 2

解 （1）因X1,X2,L,Xn是来自总体N(μ,σ)的样本，所以

2

Xi μ

σχ=

2

~N(0,1)，从而(

n

Xi μ

σ

n

)2~χ2(1)，进一步由χ2分布的可加性得

1

σ2

∑(Xi μ)=∑(

2

i=1

i=1

Xi μ

σ

)2~χ2(n)

16

σ211616122 ≤∑(Xi μ)≤2σ =P(≤2（2）n=16时，P

2σ 216i=1

=P(8≤

∑(X

i=1

i

μ)2≤2×16)

χ2≤32)=P(χ2≥8) P(χ2>32)≈0.95 0.01=0.94

2

4．设X1,X2,L,X10是总体N(μ,16)的样本，S2为样本方差，已知P(S>a)=0.1，求a的值.

解 根据定理2得χ=

2

(n 1)S2

σ2

~χ(n 1)=

2

χ2(9) ，又本题σ2=16 所以

9S29a9a

P(S>a)=P(>)=P(χ2>=0.1

161616

2

2

查表得 χ0.1(9)=14.684，故

9a

=14.684，a=26.105 16

则n5．设总体N(72,100)有容量为n的样本，为使样本均值大于70的概率不小于90%，至少应取多大？ 解 由定理1知U=

X μ

σn

=

X 72

10n

~N(0,1)，从而

P(X>70)=P(

7210

n

>

70 72n

=P(U>

n n

)=1 P(U≤=1 Φ(≥0.9555

所以Φ(

nn

≥0.9，而Φ(1.28)≈0.9，所以≥1.28，n≥41 55

所以n至少应取41.

习题6-4

1．从总体X~N(μ,σ)中抽取n1=9,n2=12的两个独立样本，试求两个样本均值

2

X,Y之差的绝对值小于1.5的概率,若(1)已知σ2=4；（2）σ2未知，但两个样本方差分

别为S1=4.1, S2=4.4.

解 由于两样本来自同一总体，故σ1=σ2=σ，μ1=（1）现σ2=4，由定理1知U=

2

2

2

2

2

μ2=μ，

(X Y) (μ1 μ2)

/n1+σ/n22

122

~N(0,1)，

即U=

(X Y)4/n1+4/n2

~N(0,1)

所求概率为P(X Y<1.5)=P(

X Y49+4<

1.54+4)=P(<1.70)

=2Φ(1.70) 1=2×0.9554 1=0.9108。 （2）现σ2未知，由定理2知T=

(X Y) (μ1 μ2)Sω/n1+1/n2

~t(n1+n2 2),

2

(n1 1)S12+(n2 1)S2

. 其中 Sω=

n1+n2 2

2

即T=

(X Y)Sω/9+1/12

~t(9+12 2)=t(19),

其中Sw=

8×4.1+11×4.4

=1.966，

21

X Y

<

1.5

1.966×+)

所求概率为P(X Y<1.5)=P(

1.966×+=P(T<1.730)=1 2×P(T>1.730)≈1 2×0.05=0.9 …… 此处隐藏：3521字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……