正余弦定理习题精选精讲 (1)

正余弦定理习题精选精讲 (1)

正、余弦定理的五大命题热点

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素

是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1(2005年全国高考江苏卷) ABC中，A

3

，BC＝3，则 ABC的周长为（ ）

A．43sin B

3 B．43sin B 3C．6sin B 3 D．6sin B 3 3 6 3 6

分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果． 解：由正弦定理得：

3sin

3

bsinB

csinC

b csinB sinC

b c

sinB sin(

2 3 B)

，

得b＋c

＝B＋sin(

2 3

－B)]＝6sin(B

)．故三角形的周长为：3＋b＋c＝6sin B 3，故选(D)． 66

6

，周长应为3

评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝

3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．

例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知AB

463

,cosB

66

，AC边上的中线BD=

5，求sinA的值．

分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．

解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE

12

2

AB

263

，设BE＝在ΔBDE中利用余弦定理可得：BD

2

BE

2

ED 2BE EDcosBED， 73

5 x

2

83

2

263

66

x，解得x 1，x

故BC=2，从而AC AB BC 2AB BCcosB

222

283

，即AC

221

3

sinB

306

，

故

2sinA

6

sinA

二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．

例3(2005年北京春季高考题)在 ABC中，已知2sinAcosB sinC，那么 ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由2sinAcosB sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．

解法2：由题意，得cosB＝

sinC2sinA

c2a

，再由余弦定理，得cosB＝

a c b

2ac

222

．

正余弦定理习题精选精讲 (1)

∴

a c b

2ac

222

＝

c2a

，即a＝b，得a＝b，故选(B)．

22

评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 三、 解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

例4(2005年全国高考上海卷) 在 ABC中，若 A 120，AB 5，BC 7，

则 ABC的面积S＝

分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝

2

2

2

12

AB ACsinA即可解决．

2

解：由余弦定理，得cosA＝

AB AC BC

2AB AC

1534

12

25 AC 4910 AC

12

12

，解得AC＝3．

∴ S＝

12

AB ACsinA＝．∴ AB AC sinA＝AC h，得h＝AB sinA＝

322

，故选(A)．

四、求值问题

例5(2005年全国高考天津卷) 在 ABC中， A、 B、 C所对的边长分别为a、b、c， 设a、b、c满足条件b

2

c bc a和

22

cb

12

3，求 A和tanB的值．

分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理． 解：由余弦定理cosA

b c a

2bc

222

12

，因此， A 60

在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.

由已知条件，应用正弦定理

12

3

cb

sinCsinB

sin(120 B)

sinB

sin120 cosB cos120 sinB

sinB

32

cotB

12

,解得cotB 2,从而tanB

12

.

五、正余弦定理解三角形的实际应用

利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题

例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。

分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。

解析：由正弦定理得∵S ABC

ACsin CBA

ABsin ACB12

，∴AC=AB=120m，又

A

图1

12

D

B

AB ACsin CAB AB CD，解得CD=60m。

点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。 （二.）遇险问题

例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？

正余弦定理习题精选精讲 (1)

解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150&# …… 此处隐藏：11391字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……