概率论与数理统计测验三答案(3)

随堂测验

0,x 0

F(x) sinx,0 x ,

2

1,x 2

(2) 注意到这个F(x)在整个实轴都是连续的，根据第二章的结论：只要分布函数是连续函数，那么随机变量在单点处的概率就为0，因此有

P{|X|

6

P{

6

X

6

P{

6

X

6

F(

6

) F (

6

) si

6

0=

12

.

(3)已知分布函数求概率密度，只需要在密度函数的连续点处对x求导即可：

cosx,0 x

因此有f(x) 2.

0,其它

（此题没有f(x)无定义的点，否则需要修改相应区间，例如第二章测验解答题第一题.） 2. （15分）某元件寿命X服从参数为

11000

的指数分布，则三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？

解：随机变量X表示元件寿命，由题意可知其概率密度为

x 1

e1000,x 0

f(x) 1000.

0,otherwise

又因为P{X 1000}

1000

f(x)dx

11000

1000

e

x1000

dx e.

1

即元件能够使用超过1000小时的概率是e

1

，又因为三个元件的寿命是相互独立的，所以最后所求概率值即为e

1

3

e

3

.

3. （10分）已知二维随机向量(X, Y)的联合密度函数为

8xy,0 x y 1

f(x,y)

0,其它

求(X, Y)的关于Y的边缘密度函数.

解：

通过以下四个步骤求边缘密度：

3