高数(高等教育出版社)第一版,第二章习题详解参考

第二章习题解答参考

习 题 2-1

1．设f(x)=8x，试按定义求f (1)． 解 f (1)=lim

f 1 x f 1

x

lim

8 1 x 8

x

8．

x 0 x 0

2．设f(x)=ax2 bx c，其中a,b,c为常数.按定义求f (x)． 解 f x =lim

f x x f x

x

2

2

x 0

lim

a x x b x x c ax bx c

x

2ax x a x b x

x

2

x 0

lim

x 0

2ax b

．

3．证明 (sinx) =cosx． 证 设f x sinx，

则f x x f x sin x x sinx 2cos x

x x

sin 2 2

x x

2cos x sin f x x f x 2 2

f x lim lim

x 0 x 0 x x

sin

x

x cosx limcos x x 02 x2

，

所以 (sinx) =cosx．

4．下列说法可否作为f(x)在x0可导的定义？ （1）lim

f(x0 h) f(x0 h)

h

h 0

存在；

解 不能．因为从极限式中不能判断f x0 存在，也不能判断

lim

f(x0 h) f(x0)

h

h 0

存在．

例如f x x在x 0点不可导，但lim却存在．

（2）lim

h 0

f(0 h) f(0 h)

h

h 0

lim

h hh

h 0

0

f(x0 h) f(x0)

h

和lim

h 0

f(x0 h) f(x0)

h

f x0

存在且相等；

解 可以．因为lim

h 0

f(x0 h) f(x0)

h

lim

h 0

，

，根据导数存在的充要

h 0

lim

f(x0 h) f(x0)

h

f(x0 h) f(x0)

h

f x0

条件，可知f x0 存在．

5．求下列函数的导数：

（1）y x5； （2

）y

； （3

）y x；

（4）y log1x ； （5

）y

3

2 （6）y lgx．

解 （1）y 5x5 1 5x4；

3

1 11

（2

）y x2 x2 ；

2 15

22 227227

（3

）y x x x；

77

（4）y

1xln

13

1xln3

；

5 1

2 2

（5

）y x32 x6

5

1 6 x ； 6

（6）y

1xln10

．

6．已知物体的运动规律为s t3(米)，求这物体在t 2(秒)时的速度． 解 因为s t3，v

dsdt 3t

2

，所以t 2时，v 2 3 22 12．

7．如果f(x)为偶函数，且f (0)存在，证明f (0)=0．

证 因为f (0)=lim所以f (0) lim

f x f 0

x

，而f(x)为偶函数，故f( x) f( x)，

f x f 0

x

f (0)，

x 0

f x f 0

x

x 0

lim

x 0

所以f (0)=0．

8．抛物线y x2在哪一点的切线平行于直线y 4x 5？在哪一点的切线垂直于直线2x 6y 5 0？

解 由y x2，可得y 2x，若切点为 x0,x02 ，则依题设2x0 4，即x0 2时，切线平行于直线y 4x 5；2x0 1，即x0

31

32

时，切线垂直于直线

2x 6y 5 0；

所以抛物线y x2在点 2,4 的切线平行于直线y 4x 5？在点 , 的

24

39

切线垂直于直线2x 6y 5 0．

9．在抛物线y x2上取横坐标为x1 1及x2 3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

解 由题设可知y 2x，所取的两点为 1,1 ， 3,9 ，连接两点的直线斜率为k 4，依题设，应有2x 4，即x 2，所以所求点为 2,4 ．

10.如果y f x 在点 4,3 处的切线过点 0,2 ，求f 4 ． 解 依题设，曲线在点 4,3 处的切线为y 3 f 4 x 4 ， 满足2 3 f 4 0 4 ，从而f 4

14

．

11．讨论下列函数在x 0处的连续性与可导性：

（1

）y

1 2

xsin,

（2）y x

0,

x 0,x 0.

解（1

）因为lim 0

y 0 ，所以y

x 0

在x 0点连续，

而

lim

x

x 0

lim

1

2

x 0

，所以y

x 0点不可导；

x3

1 2

xsin,1

（2）因为limx2sin 0 y 0 ，所以y x

x 0x 0,

x 0,x 0.

在x 0点连续，

xsin

2

又 lim

x 0

1 2

xsin, limxsin 0，所以y

x x 0xx 0,

1

1x 0,x 0.

在x 0点可导．

12．设f(x)=

sinx,x 0

ax b,x 0 sinx,

在x 0处可导，求a,b的值．

解 因为f(x)=

x 0

ax b,x 0

在x 0处可导，

所以limf(x) f 0 ，且f 0 f 0 ，

x 0

又limf(x) 0，limf(x) b，f 0 b，故b 0，f 0 0，

x 0

x 0

从而f 0 lim

x 0

f x f 0

x

lim

x 0

sinxx

1，

f 0 lim

x 0

f x f 0

x

lim

x 0

axx

a，所以a 1．

x2,x 0

13．已知f(x) ，求f (0)，f (0)和f (0)．

x,x 0

2

x2,x 0f(x) f 0 x

解 因为f(x) ，所以f (0) lim lim 0，

x 0x 0xx x,x 0

f (0) lim

x 0

f(x) f 0

x

lim

x 0

xx

1，所以f (0)不存在．

x3,x 0

14．设函数f(x)= 3，求f (x)．

x,x 0

解 当x 0时，f (x) 3x2，当x 0时，f (x) 3x2， 当x 0时，f (0) lim

x 0

f x f 0

xf x f 0

x

lim

x 0

x

3

x xx

0，

3

f (0) lim

x 0

lim

x 0

0，所以f (0) 0，

3x2,x 0

所以 f (x)= ． 2

3x,x 0

15．设所给的函数可导，证明：

（1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； （2）周期函数的导函数仍是周期函数． 证 （1）设f x 为奇函数，则f x f x ， 而f x lim

f x h f x

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