7.6用向量讨论垂直与平行

高三数学一轮复习 7.6用向量讨论垂直与平行

【学习目标】

1．理解直线的方向向量和平面的法向量；

2．理解用向量方法证明垂直与平行的思想实质； 3．能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题． 【考点梳理】 1．直线的方向向量

直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量 （或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有 个． 2．平面的法向量

所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有 个，它们是 向量． 3．用向量法证明垂直与平行问题的本质 （1）空间两条直线平行的本质是 ； （2）空间直线与平面平行的本质是 ； （3）空间两个平面平行的本质是 ； （4）空间两条直线垂直的本质是 ； （5）空间直线与平面垂直的本质是 ； （6）空间两个平面垂直的本质是 ． 4．三垂线定理与逆定理

（1）三垂线定理 若平面内的直线和平面的 垂直，那么它也和 垂直．

（2）三垂线定理的逆定理 若平面内的直线和平面的 垂直，那么也和 垂直．

【课前演练】

1.若{ EMBED Equation.3 |a=(2,-3 ,6), =(3,y,9),且∥，则y= ． 2.若=(1,1,0), =(-1,0 ,2),且与垂直，则k= ． 3．已知，，，求平面ABC的一个法向量．

【师生合作】 考点一 平行问题

【例1】如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，A7.6用向量讨论垂直与平行 第 1 页 共 4

E

AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2，E、E分别是棱AD、AA的中点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE∥平面FCC；

【例2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是A1B1、A1 D1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.

D C1 EA1 B

C

B

变式训练：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，证明：平面ACD1 ∥平面A1C1B .

考点二 垂直问题

【例3】如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，，点E上且．证明：A1C⊥平面BED．

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1

【例4】如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2．证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．

【高考链接】 1．（11辽宁·理18）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD． （I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；

B

A Q 2．（11山东·文19）如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，60°. （Ⅰ）证明：；

D1 （Ⅱ）证明：.

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共 DB1

CB

A

3．（11北京·理16） 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，. （1）求证：平面

P （2）当平面与平面垂直时，求的长.

A B

【小结】

7.6用向量讨论垂直与平行 第 4 页 共 4 页（理科）