例谈直线回归方程的求解方法

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例谈直线回归方程的求解方法

山东 孙道斌

在求具有线性相关关系的两个变量之间的回归方程时，由于所给两个变量的数据较多并且量大，致使运算量大且繁杂，常常使我们望而生“畏”，望而生“烦”．那么,如何尽快的求出回归直线方程呢？下面,结合一个实例谈谈回归直线方程的求解方法，以供参考． 例：测得某地10对父子身高（单位：英寸）如下：

父亲身高(x) 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 儿子身高（y）63.６ 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70

如果x与y之间具有线性相关关系，求回归直线方程；如果父亲的身高为78英寸，试估计儿子的身高．

分析：对于两个变量，在确定具有线性相关关系后，可以利用“最小二乘法”来求回归方程．用“最小二乘法”求回归直线方程的关键在于正确地利用回归方程中系数公式b

n

xy

ii 1n

i

nxy

，a y bx求出系数a，b，这样回归方程也就建立起来了． nx

2

x

i 1

2i

为了使计算更加有条理，我们通过制作表格来先计算出 xi， yi， xi， yi2；再计算

2

i 1

i 1

i 1

i 1

nnnn

出y

n

nn

221n1n2

，；最后利用公式，yx xL x nxL yi2 ny， iixxiyy

ni 1ni 1i 1i 1

列式计算，再利用公式计算b Lxy xiyi nxy，

i 1

LxyLxx

y bx a．；最后写出回归直线方程：

解法：

668670.1

上表可计算，x 66.8，y 67.01， xiyi 44842.4， xi2 44794，

1010i 1i 1

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10

y

i 1

2i

44941.93，代入公式b

xy

ii 1ni 1

10

i

nxy

2

xi2 nx

44842.4 10 66.8 67.0179.72

0.4646.

44974 10 66.82171.6

∴a y bx 67.01 0.4646 66.8 35.975

因而所求得回归直线方程为： y 0.4646x 35.975． 当x 78时， y 0.4646 78 35.975 72.2138．

所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72.2138英寸．

评注：“最小二乘法”是求回归直线方程常用的方法，在回归直线方程 a，by bx a中，是回归直线方程中的系数，其中b是回归直线的斜率，表示自变量变化1个单位时因变量的

平均变化值．在数值计算的过程中可以用计算器来帮助完成复杂的计算结果．