实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案

证明题:60分

1、证明 1lim =

n m n n m n

A A ∞

∞

→∞

==。

证明:设lim n n x A →∞

∈,则N ∃,使一切n N >,n x A ∈,所以 ∞

+=∈

1n m m

A

x ∞=∞

=⊂1n n

m m A ,

则可知n n A ∞

→lim ∞

=∞

=⊂1n n

m m A 。设 ∞

=∞

=∈1n n m m A x ,则有n ,使 ∞

=∈n

m m A x ,所以

n n A x lim ∞

→∈。 因此,n n A lim ∞

→= ∞

=∞

=1n n

m m A 。

2、若n R E ⊂,对0>∀ε,存在开集G , 使得G E ⊂且满足 *()m G E ε-<, 证明E 就是可测集。

证明:对任何正整数n , 由条件存在开集E G n ⊃,使得()1*m G E n

-<。 令 ∞

==1n n G G ,则G 就是可测集,又因()()1**n m G E m G E n

-≤-<

, 对一切正整数n 成立,因而)(E G m -*=0,即E G M -=就是一零测度集,故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。

3、设在E 上()()n f x f x ⇒,且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立, ,3,2,1=n , 则有

{()}n f x a 、e 、收敛于)(x f 。

证明 因为()()n f x f x ⇒,则存在{}{}i n n f f ⊂,使()i n f x 在E 上a 、e 、收敛到()f x 。设0E 就是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>,则00,0n mE mE ==。因

此0

(

)0n n n n m E mE ∞

∞==≤=∑。在1

n n E E ∞=-

上,()i n f x 收敛到()f x , 且()n f x 就是单调

的。因此()n f x 收敛到()f x (单调序列的子列收敛,则序列本身收敛到同一极限)。

即除去一个零集

1

n n E ∞

=外,()n f x 收敛于()f x ,就就是()n f x a 、e 、 收敛到()f x 。

实变函数论考试试题及答案

4、设1R E ⊂,()x f 就是E 上..e a 有限的可测函数。证明存在定义于1R 上的一列 连续函数)}({x g n ,使得 )()(lim x f x g n n =∞

→ ..e a 于E 。 证明: 因为)(x f 在E 上可测,由鲁津定理,对任何正整数n ,存在E 的可测子 集n E ,使得()1n m E E n

-<,同时存在定义在1R 上的连续函数)(x g n ,使得当 n E x ∈时有)(x g n =)(x f 。 所以对任意的0η>,成立n n E E g f E -⊂≥-][η,

由此可得 ()1n n mE f g m E E n

η⎡-≥⎤≤-<⎣⎦。 因此 0][lim =≥-∞

→ηn n g f mE ,即)()(x f x g n ⇒,由黎斯定理存在(){}x g n 的子列(){}x g k

n ,使得 )()(lim x f x g k n k =∞→ a 、e 于E 、 证毕

5、设,mE <∞{}n f 为a 、e 有限可测函数列,证明:

()lim 01()n E n n

f x dx f x →∞=+⎰ 的充要条件就是()0n f x ⇒。

证明:若⇒)(x f n 0,由于1n n n f E E f f σσ⎡⎤≥⊂⎡≥⎤⎢⎥⎣⎦+⎣⎦

,则01⇒+n n f f 。 又()011()

n n f x f x ≤<+,() 3,2,1=n ,mE <∞,常函数1在E 上可积分,由 勒贝格控制收敛定理得00)(1)

(lim ==+⎰⎰∞→E

E n n n dx dx x f x f 。 反之,若0)(1)

(→+⎰dx x f x f E n n (∞→n ),而且0)(1)(⇒+x f x f n n ,对0σ∀>, 令n n e E f σ=⎡≥⎤⎣⎦,由于函数x x y +=1,当1x >-时就是严格增加函数,

实变函数论考试试题及答案

因此

0)

(1)()

(1)(1→+≤+≤+⎰

⎰

dx x f x f dx x f x f me E

n n e n n n n

σ

σ

。

所以[]0lim

=≥σn n

f E ,即0(x )⇒n f

6、设mE <∞,a 、e 、有限的可测函数列()n f x 与()n g x , ,3,2,1=n ,分别依 测度收敛于)(x f 与)(x g ,证明 ()()()()n n f x g x f x g x +⇒+。 证明:因为()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +--≤-+- 于就是0δ∀>,成立

[|()()|][||][||]22

n n n n E f g f g E f f E g g δδ

δ+-+≥⊂-≥-≥,

所以

[|()()|][||][||]22

n n n n mE f g f g mE f f mE g g δδ

δ+-+≥≤-≥+-≥ lim [|()()|]lim [||]lim [||]022n n n n n n n mE f g f g mE f f mE g g δδ

δ→∞→∞→∞+-+≥≤-≥+-≥=

即n n g f g f +⇒+ 填空题:10分

2、设(){}2

2

2,1E x y x y =

+<。求2

E 在2

R 内的'2

E ,0

2E ,2

E 。 解:(){}22

2

,1E x y x y '=+≤, (){}22

2

,1E x y x y =+<, (){}22

2

,1E x y x y =+<。

计算题:30分

4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ⊂,12

mE =

。 解:在[0,1]中去掉一个长度为1

6

的开区间57(,)1212,接下来在剩下的两个闭区间

分别对称挖掉长度为11

63

⨯的两个开区间,以此类推,一般进行到第n 次时,

一共去掉12-n 个各自长度为111

63

n -⨯的开区间,剩下的n 2个闭区间,如此重复

实变函数论考试试题及答案

下去,这样就可以得到一个闭的疏朗集,去掉的部分的测度为

11112121663

63

2

n n --+⨯++⨯+=。 所以最后所得集合的测度为11122mE =-

=,即12

mE =。 8、试求 2

1

211

()(1)n

n x R dx x ∞

-=+∑⎰。 解 令2

2(),[1,1](1)

n n

x f x x x =∈-+,则()n f x 为非负连续函数,从而非负可积。根据L 积分逐项积分定理,于就是,

22

1

221[1,1]112

2[1,1]

1[1,1]

()()(1)(1)()(1)

()12n n n n n n x x R dx L dx x x x L dx x L dx

∞

∞

--==∞

-=-=++=+==∑∑⎰⎰∑⎰⎰。

。

10、试从

()()

,10,111

32<<+-+-=+x x x x x

求证 111

ln 21234

=-+-+

。

证明:在[0,1]x ∈时,1

0,1,2,3,

n

n x x

n +-≥=,由L 逐项积分定理,

()()()221

221[0,1]

[0,1]0< …… 此处隐藏：1258字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……