线性代数1-6行列式按行(列)展开

一、余子式与代数余子式例如

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a31 a32 a33 a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31 a22 a23 a21 a23 a21 a22 a11 a12 a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32

在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .

记

Aij 1

i j

M ij, 叫做元素 a ij 的代数余子式.

例如

a11 a 21 D a 31 a 41

a12 a 22 a 32 a 422 3

a13 a 23 a 33 a 43

a14 a 24 a 34 a 44

a11 M 23 a 31 a 41

a12 a 32 a 42

a14 a 34 a 44

A23 1

M 23 M 23 .

a11 a21 D a31 a41

a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a441 2

a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 , a41 a43 a44

A12 1 M 12 M 12 . a11 a12 a13

M 44 a21 a22 a23 , A44 1 4 4 M 44 M 44 . a31 a32 a33

行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式.

引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积，即 D a ij Aij .a11 a12 a 22 0 a42 a13 a 23 a 33 a43 a14 a 24 0 a44 a 33 A33

例如

D

a 21 0 a41

1 3 3 a 33 a 21 a 22 a 24 . a 41 a42 a 44

a11

a12

a14

证

当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0

a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann即有 D a11 M11 (看成分块矩阵， 由上节例子得到).A11 1 1 1

又从而

M 11 M 11 ,

D a11 A11 .

再证一般情形, 此时

a11 a1 j a1n D 0 aij an1 anj 0

ann

把D的第i行依次与第 i 1行, 第 i 2行, , 第1行对调,

得

D 1

0 a i 1 ,1 a n1

i 1

0 aij ij a i 1, j a i 1, n a nj a nn

再把D的第j列依次与第j 1列, 第j 2列, 第1列 对调, 得

aij 0 0 ij i 1 j 1 D 1 1 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj an , j 1 ann

aij 0 0 ij i j 2 a i 1 , j a i 1 , j 1 a i 1 , n 1 anj an , j 1 ann 0 0 aij i j 1 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj an , j 1 ann

aij 元素aij 在行列式ai 1, j anj

0

0

ai 1, j 1 ai 1,n 中的 a n , j 1 ann

余子式仍然是aij 在 a11 a1 j a1n

D 0 aij an1 anj

0

中的余子式 M ij .

ann

aij ij anj

0

0 ann

于是有 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n aij

Mij ,

a n , j 1

a 0 0 aij ij 故得 i j D 1 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n 1 i j aij M ij . anj an , j 1 ann

二、行列式按行(列)展开法则定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain证a11 a12

i 1,2, , n a1 n

D a i 1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in a n1 an2 a nn

a11 a12 a1n ai 1 0 0 a n1 a n 2 a nn

a11 a12 a1n 0 ai 2 0 a n1 a n 2 a nn

a11 a12 a1n 0 0 a in ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2, , n a n1 a n 2 a nn

例1

3

1

1 3 1 3 5

2 4 1 3 1 1 0 5 1 3 1 3 1 1 0 0

5 1 D 2 0 1 5

c1 2 c3 11

c4 c3

0 5

5

1

1

( 1) 3 3 11 1 1 5 5 0r2 r1

5

1

1

6 2 0 5 5 0

( 1)

1 3

6

2

5 5

8 0

2 5

40.

例2

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1 x1 1 x22 x2

1 xn2 xn

2 Dn x1 n x1 1

n i j 1

( xi x j ).

(1)

n n x 2 1 x n 1

证 用数学归纳法 1 1 D2 x 2 x1 ( x i x j ), x1 x 2 2 i j 1

当 n 2 时( )式成立. 1