高等数学(同济大学第五版)第十二章(7)

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

(x+1)

nanx∑n=1

∞

n 1

=x 2x+∑anxn,

2

n=0

2

∞

即 a0+a1+2(1+a2)x+(a2+3a3 1)x+于是 a1=a0, a2= 1,a3=因此原方程的通解为

[(n 1)an+(n+1)an+1]xn=0. ∑n=3

∞

2,a= n 2a =( 1)n 34(n≥4).

nn 1n(n 1)3n

∞

24xn(C=a为任意常数). 3 y=C(1+x) x+x+∑( 1)n 303n(n 1)n=4

2

2. 试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的解: (1)y′=y2+x3, y|x=0=

1; 2

∞1 解 根据初始条件, 可设方程的解为y=+∑anxn, 代入方程得 2n=1

∞

∞1=+∑anxn)2+x3, 2n=1

∞1222

=x++∑anxn+a1x+2a1a2x3+(a2+2a1a3)x4+ .

4n=1

3

nanx∑n=1

∞

n 1

即 a1+

nanx∑n=2

n 1

比较两边同次幂的系数得

1, 2a=a, 3a=a+a2, 4a=a+2aa+1, ,

213214312

4111, a=9, .

于是 a1=, a2=, a3=4

481632

a1=因此所求特解为 y=

1+1x+1x2+1x3+9x4+ . 2481632

∞

(2)(1 x)y′+y=1+x, y|x=0=0;

解 根据初始条件, 可设方程的解为y=

anxn, 代入方程得 ∑n=1