2014年中考数学一轮复习学案第17讲 锐角三角函数与解直角三角形

第17讲 锐角三角函数与解直角三角形

【考纲要求】

1．理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．

2．掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形． 3．利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题. 【命题趋势】

中考中主要考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形．题型以解答题和填空题为主，试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点. 【考点探究】

考点一、锐角三角函数的定义

【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是(

)

512513A． B． C． D．

1313125

BC5

解析：∵在Rt△ABC中，AB＝13，BC＝5，∴sin A＝A.

AB13答案：A

方法总结 求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的关键是：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的公式．解题的前提是在直角三角形中，如果题目中无直角时，必须想办法构造一个直角三角形．

触类旁通1 如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为(

)

4334A． B C． D．3545考点二、特殊角的三角函数值 【例2】如果△ABC中，sin A＝cos B2

，则下列最确切的结论是( ) 2

A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形 解析：由sin A＝cos B＝

2

可知，∠A＝∠B＝45°， 2

所以∠C＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形． 答案：C

方法总结 特殊角的三角函数值在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆．

触类旁通2 计算：|－2|＋2sin 30°－(－3)2＋(tan 45°)1.

－

考点三、解直角三角形

【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，3

DE⊥AB，AE＝6，cos A＝5

求：(1)DE，CD的长；(2)tan∠DBC的值．

解：(1)∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.在Rt△AED中，cos A＝根据勾股定理得DE＝AD－AE＝10－6＝8. 又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DC＝DE＝8.

AC183

(2)∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，在Rt△ABC中，cos A＝＝，∴AB＝30.根

ABAB5据勾股定理得BC＝AB－AC＝30－18＝24.

DC81

∴在Rt△BCD中，tan∠DBC＝.

BC243

方法总结 解这类问题主要是综合运用勾股定理、锐角三角函数定义、直角三角形的两个锐角互为余角．解题时应尽量使用原始数据，能用乘法运算就尽量不用除法运算．

触类旁通3 如图是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝3

，则边BC的长为( ) 3

AE63

.∴AD＝10. ADAD5

A．303cm B．3cm C．103cm D．53cm

考点四、解直角三角形在实际中的应用

【例4】某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如图所示，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α.测得A，B之间的距离为4米，tan α＝1.6，tan β＝1.2，试求建筑物CD的高度．

分析：求建筑物CD的高度关键是求DG的长度，先利用三角函数用DG表示出GF，GE的长，利用EF＝GE－GF构建方程求解．

解：设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG＝x米． DGx

在Rt△DGF中，tan αtan α＝.

GFGFDGx

在Rt△DGE中，tan β＝，即tan β＝.

GEGE∴GF＝

xxxx

GE＝∴EF＝. tan αtan βtan βtan α

xx

∴4解方程，得x＝19.2.∴CD＝DG＋GC＝19.2＋1.2＝20.4(米)．

1.21.6答：建筑物CD高为20.4米．

方法总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造，即把实际问题转化为数学问题，并构造直角三角形，利用解直角三角形的知识去解决，解题时要认真审题，读懂题意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含义，然后再作图解题． 【经典考题】

1．(2013乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sin B的值为( )

123

A． B C． D．1

222

2．(2013舟山)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，则AB等于(

)米．

A．asin 40° B．acos 40° C．atan 40° D．

a

tan 40°

3．(2013福州)如图，从热气球C处测得地面上A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是( )

A．200米 B．3米 C．2203米 D．3＋1)米

12

cos A－ ＋ sin B－2＝0，则∠C＝4．(2013济宁)在△ABC中，若∠A，∠B满足 2 2 __________.

5．(2013株洲)数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的

学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．

6．(2013衡阳)如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽

AD.(i＝CE:ED，单位：m)

7．(2013潍坊 …… 此处隐藏：2712字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……