名师手拉手高三一轮复习(63)-圆锥曲线的综合应用(1)讲义

圆锥曲线的综合应用

高三第一轮复习数学---圆锥曲线的综合应用（1）

一、教学目标：会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意

运用“数形结合”、“几何法”求某些量的最值．

二、教学重点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体

会分类讨论、等价转化等数学思想的运用.

三、教学过程：

（一）主要知识：

1．与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种：

（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．

2．圆锥曲线中最值的两种求法：

（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．

（二）例题分析：

例1．过抛物线y2 4x(a 0)的焦点F，作相互垂直的两条焦点弦AB和CD，求|AB| |CD|的最小值．

解：抛物线的焦点F坐标为(a,0)，设直线AB方程为y k(x a)，则CD方程为

1y (x a)，分别代入y2 4x得： k

121a2

22222kx (2ak 4a)x ka 0及2x (2a2 4a)x 2 0， kkk

2a∵|AB| xA xB p 2a 2 2a，|CD| xC xD p 2a 4ak2 2a， k

4a22∴|AB| |CD| 8a 2 4ak 16a，当且仅当k 1时取等号， k

所以，|AB| |CD|的最小值为16a．

例2．已知椭圆的焦点F1( 3,0)、F2(3,0)，且与直线x y 9 0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程．

x2y2

1（a2 9）解：（法一）设椭圆方程为2 2， aa 9

x2y2

1 22224由 a2a2 9得(2a 9)x 18ax 90a a 0，

x y 9 0

由题意，a有解，∴ (18a) 4(2a 9)(90a a) 0，

∴a 54a 405 0，∴a 45或a 9（舍）， 422222422

x2y2

1． ∴amin 45，此时椭圆方程是4536

（法二）先求点F1( 3,0)关于直线x y 9 0的对称点F( 9,6)，直线FF2与椭圆的交2点为M

，则2a |MF1| |MF2| |MF| |MF2| |FF2| ，

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∴aminx2y2 1． 4536

小结：本题可以从代数、几何等途径寻求解决，通过不同角度的分析和处理，拓宽思路．

例3．直线y kx 1与双曲线x2 y2 1的左支交于A,B两点，直线l经过点( 2,0)及AB中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．

y kx 122解：由 2得(1 k)x 2kx 2 0，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

2 x y 1

4k2 8(1 k2) 0 0 k1 2k,)， 则 x1 x2 0 0 1 k ，AB中点为(221 k1 k x x 0 1 k 12 2 02 1 k

x 2∴l方程为y ，令x 0， 2 2k k 2

22得b ，

2k2 k 2 2(k )2 48

1217 1， ∵1 k

2 2(k ) 48

所以，b

的范围是( , 2 (2, )．

小结：用k表示b的过程即是建立目标函数的过程，本题要注意k的取值范围．

（三）巩固练习：

x2y2

1上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右两焦点，1．点P是双曲线412

（ D ） F1PF2 90 ，则|PF1| |PF2|等于

(A)48 (B)32 (C)16 (D)24

2．双曲线x2 y2 1的左焦点为F，P为双曲线在第三象限内的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是 （ B ）

(A)k 0或k 1 (B)k 0或k 1 (C)k 1或k 1 (D)k 1或k 1

x2

y2 1的短轴为B1B2，点M是椭圆上除B1,B2外的任意一点，直线MB1,MB23．椭圆4

在x轴上的截距分别为x1,x2，则x1 x2 ．

4．已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8

，则长半轴长的最小值是1)．

5．已知a,b,c分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程ax bx c 0无实数根，则此双曲线的离心率e

的取值范围是(1,2． 2

四、小结：

1、可以从代数、几何等途径寻求解决，通过不同角度的分析和处理，拓宽思路．

2、用k表示b的过程即是建立目标函数的过程，要注意k的取值范围．

五、作业：

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