圆锥曲线的综合应用
高三第一轮复习数学---圆锥曲线的综合应用(1)
一、教学目标:会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意
运用“数形结合”、“几何法”求某些量的最值.
二、教学重点:正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题,从中进一步体
会分类讨论、等价转化等数学思想的运用.
三、教学过程:
(一)主要知识:
1.与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种:
(1)不等式(组)求解法:利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围;(2)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.
2.圆锥曲线中最值的两种求法:
(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值.
(二)例题分析:
例1.过抛物线y2 4x(a 0)的焦点F,作相互垂直的两条焦点弦AB和CD,求|AB| |CD|的最小值.
解:抛物线的焦点F坐标为(a,0),设直线AB方程为y k(x a),则CD方程为
1y (x a),分别代入y2 4x得: k
121a2
22222kx (2ak 4a)x ka 0及2x (2a2 4a)x 2 0, kkk
2a∵|AB| xA xB p 2a 2 2a,|CD| xC xD p 2a 4ak2 2a, k
4a22∴|AB| |CD| 8a 2 4ak 16a,当且仅当k 1时取等号, k
所以,|AB| |CD|的最小值为16a.
例2.已知椭圆的焦点F1( 3,0)、F2(3,0),且与直线x y 9 0有公共点,求其中长轴最短的椭圆方程.
x2y2
1(a2 9)解:(法一)设椭圆方程为2 2, aa 9
x2y2
1 22224由 a2a2 9得(2a 9)x 18ax 90a a 0,
x y 9 0
由题意,a有解,∴ (18a) 4(2a 9)(90a a) 0,
∴a 54a 405 0,∴a 45或a 9(舍), 422222422
x2y2
1. ∴amin 45,此时椭圆方程是4536
(法二)先求点F1( 3,0)关于直线x y 9 0的对称点F( 9,6),直线FF2与椭圆的交2点为M
,则2a |MF1| |MF2| |MF| |MF2| |FF2| ,
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圆锥曲线的综合应用
∴aminx2y2 1. 4536
小结:本题可以从代数、几何等途径寻求解决,通过不同角度的分析和处理,拓宽思路.
例3.直线y kx 1与双曲线x2 y2 1的左支交于A,B两点,直线l经过点( 2,0)及AB中点,求直线l在y轴上截距b的取值范围.
y kx 122解:由 2得(1 k)x 2kx 2 0,设A(x1,y1)、B(x2,y2),
2 x y 1
4k2 8(1 k2) 0 0 k1 2k,), 则 x1 x2 0 0 1 k ,AB中点为(221 k1 k x x 0 1 k 12 2 02 1 k
x 2∴l方程为y ,令x 0, 2 2k k 2
22得b ,
2k2 k 2 2(k )2 48
1217 1, ∵1 k
2 2(k ) 48
所以,b
的范围是( , 2 (2, ).
小结:用k表示b的过程即是建立目标函数的过程,本题要注意k的取值范围.
(三)巩固练习:
x2y2
1上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右两焦点,1.点P是双曲线412
( D ) F1PF2 90 ,则|PF1| |PF2|等于
(A)48 (B)32 (C)16 (D)24
2.双曲线x2 y2 1的左焦点为F,P为双曲线在第三象限内的任一点,则直线PF的斜率的取值范围是 ( B )
(A)k 0或k 1 (B)k 0或k 1 (C)k 1或k 1 (D)k 1或k 1
x2
y2 1的短轴为B1B2,点M是椭圆上除B1,B2外的任意一点,直线MB1,MB23.椭圆4
在x轴上的截距分别为x1,x2,则x1 x2 .
4.已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8
,则长半轴长的最小值是1).
5.已知a,b,c分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距,若方程ax bx c 0无实数根,则此双曲线的离心率e
的取值范围是(1,2. 2
四、小结:
1、可以从代数、几何等途径寻求解决,通过不同角度的分析和处理,拓宽思路.
2、用k表示b的过程即是建立目标函数的过程,要注意k的取值范围.
五、作业:
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