2.1.2椭圆的简单几何性质_(3)直线与椭圆的位置关系

2.1.2椭圆的简 单几何性质(3)直线与椭圆的位置关系高二数学 选修1-1

第二章

圆锥曲线与方程

前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.

回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0 直线与圆相交 有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切 有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离 无公共点.

通法

直线与椭圆的位置关系

种类: 相切 相离 相交 (( 没有交点 一个交点 二个交点 )) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定代数方法 Ax By C 0 2 由方程组 x y2 2 2 1 b a

mx 2 nx p 0(m 0)

△=n2 4mp

△ 0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

△=0 △ 0

知识点1.直线与椭圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0 直线与椭圆相交 有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离 无公共点.

通法

题型一：直线与椭圆的位置关系x 2 y2 例1:直线y=kx+1与椭圆 1 5 m

恒有公共点,

求m的取值范围。 y kx 1 解 : x2 y 2 1 5 m (m 5k 2 ) x 2 10kx 5 5m 0 m2 (5k 2 1)m 0

2 △ ( 10k) 4(m 5k 2( ) 5 5m) 0

5 5 m ( , 0] [1 5k 2 , ) 5k 1 0, 即 k 时， 5 5 5 2 5k 1 0, 即k 时， m R 5 5 5 2 5k 1 0,即k 或k 时， m ( ,1 5k 2 ] [0, ) 5 52

题型一：直线与椭圆的位置关系练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?6 当k = 时有一个交点 3 当k> 6 6 或k<时有两个交点 3 3

x2 y2 1 练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4 交点情况满足( D )

6 6 当 k< 时没有交点 3 3

A.没有公共点C.两个公共点

B.一个公共点D.有公共点

题型一：直线与椭圆的位置关系2 2

x y 1 , 直线 4 x 5 y 40 0 , 椭圆 例 3: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

分析:

设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.42 52 尝试遇到困难怎么办? d 4 x0 5 y0 40 4 x0 5 y0 40 41l

且m

x0 2 25

y0 2 9m

1

作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

题型一：直线与椭圆的位置关系x2 y 2 例3:已知椭圆 1,直线l: 4 x - 5 y 40 0.椭圆上 25 9 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？解：设直线m平行于l,则l可写成： 4x 5 y k 0

4 x 5 y k 0 2 2 2 2 消去 y ,得 25 x 8 kx k - 225 0 由方程组 x y 1 25 9 由 0,得64k 2 - 4 25 (k 2 - 225) 0解得k1 =25,k 2 =-25

o

x

由图可知k 25.

题型一：直线与椭圆的位置关系2 2

x y 例3:已知椭圆 1,直线l: 4 x - 5 y 40 0.椭圆上 25 9 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？ 直线m为： 4 x 5 y 25 0

直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 且d 40 25 15 41 42 52 41

o

x

d max

思考：最大的距离是多少？

65 41 42 52 41

40 25

练习：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ,判断它们的位置关系。2

解：联立方程组1 y x 2

消去y

x2+4y2=2因为

5 x 2 4 x 1 0 ----- (1)

4 x x2 由韦达定理 1 5 1 x1 x2 5

>0

所以，方程(1)有两个根， 则原方程组有两组解….

那么，相交所得的弦的弦长是多少？6 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 2( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 2 52 2 2 2

知识点2:弦长公式

可推广到任意二次曲线

设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k.

弦长公式： | AB | 1 k 2 | x x | 1 1 | y y | A B A B 2

k

当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .

题型二：弦长公式例1:已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A,B两点，求弦AB之长.解 :由椭圆方程知 : a 2 4, b2 1, c 2 3.右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为 : y x 3.

的右焦点，

y x 3 2 x 2 y 1 4

消y得： 5 x 2 8 3x 8 0

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

8 3 8 x1 x2 , x1 x2 5 5 AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2

8 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5

题型二：弦长公式

x2 y2 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.

分析:先画图熟悉题意,点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

x2 y2 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别

是椭圆 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2解:∵椭圆

∴直线 AB 的方程为 …… 此处隐藏：1037字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……