自动控制原理习题集(第三章)

自动控制

第三章 控制系统时域分析

3-6b 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)

s(

Ks3 1)(

s6 1)

，若要求闭环特征

方程根的实部均小于－1，试问K应在什么范围取值？如果要求实部均小于－2，情况又如何？

解 系统的闭环传递函数GB(s)：

G

(s)

s(

K

s3 1)(

s6

1) K

B

系统的闭环特征方程为

D(s) s( s

3

s3

1)(

s6

1) K

0

9s

2

18s 18K

1） 要求Re(Si)<-1 求K取值范围，令 s=Z-1代入特征方程

(Z-1) 9(Z-1) 18(Z-1) 18K 0

3

2

显然，若新的特征方程的实部小于0，则特征方程的实部小于-1。 劳斯列阵：

Z 6Z 3Z 18K 10 0

ZZZZ

032

32

16

28 18K

6

18K 10

3

18K 10

要求Re(Si)<-1 根据劳斯判据，令劳斯列表的第一列为正数，则有

18K 10>0

28 18K

6

0

K

59

K

K

149

149

所以要求Re(Si)<-1，5

9

2） 求Re(Si)<-2，令 s=Z-2代入特征方程

(Z-2) 9(Z-2) 18(Z-2) 18K Z 3Z 6Z 18K 8 0

3

2

3

2

劳斯列阵:

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ZZZZ

32

13 18K 10

3

618K 8

18K 8

K

818

，有2根在新虚轴－2的右边，即稳定裕度不到2。

3-11b 设控制系统的结构图如图3-15所示，其输入信号为单位斜坡函数（即r(t)=t）。 要求：(1)当 =0和K

s

1

1时，计算系统的暂态性能（超调量

p

和调

节时间t）以及稳态误差；（2）若要求系统的单位阶跃相应的超调量

p

％＝16.3，峰值时间t＝1s，求参数K和 的值。以及这时系统的

p

1

跟踪稳态误差；（3）若要求超调量 ＝16.3％和当输入信号以1.5度/

p

秒均匀变化时跟踪稳态误差e＝0.1度，系统参数K和 的值应如何

ss

1

调整？

解： 由结构图可得，系统的开，闭环传递函数为

10K1

Gk(s)

10K1

s(s 1 10 )

s[1 10 s1 10

1]

2

2

(s)

Gk(s)1 Gk(s)

10K1

s (1 10 )s 10K1

2

n

2

s 2 ns n

10K11 10

（3-8）

可见它时一个二阶规范系统，系统的开环增益为K＝Kv＝

（1）当K1=0和 =0（即局部反馈回路断开）时 由3-8式可得这时系统的闭环传递函数为

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1(s)

n1

2

2

2

s 2 1 n1s n1

式中 n1 于是由二阶系统性能指标表达式，则 3.16rad/s 1 1/(2 n1) 0.16。

可求得系统的性能为

p1

e

1100% 60.1% ts1

3

n1 1

6s ess1

1Kv

110K1

0.1

（2） 当 p％＝16.3和tp＝1s时 由二阶规范系统的暂态性能指标表达式可得

e 2/1 2 0.163ln(1/ p) p

2 2

从而解得 [ln(1/

1 tp 2

n2 3.628n22

2

0.5

p

)]

2

而由（式3-8）得

10K1 n2 13.16 1 10 2 2 n2 3.628

2

从而可得系统的参数为

K1＝1.316 τ＝0.263

系统跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差为

esr2=1/ Kv=1/K=(1+10τ)/(10 K1)=0.28

（3） 当 p＝16.3％和esr＝0.1度时，由超调量 p＝16.3％可求得对应的阻尼比为ξ3=0.5，根据题意r(t)＝1.5t。于是由式3-8和应用误差系数法可得

n3 10K1

2

1 10 n3 K1 2 3 n3 1 10 1.5(1 10 ) K1

esr3 1.5/Kv 1.5(1 10 )/(10K1) 0.1

联立求解，则可求得这时参数的值为：K1 =22.5 τ=1.4

3-13b 系统如图3-18所示，其中扰动信号n(t)=1(t)。仅仅改变K1的值，能否使系统在扰动信号作用下的误差终值为-0.099?

图3-18

解：

E(s)N(s)

10

(0.1s 1)(0.2s 1)(0.5s 1) 10K1

若N(s)=1/s，则由终值定理知，若系统稳定，则稳态误差终值为

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e 101

ssn(∞)=limsE(s) lims

s 0

s 0

(0.1s 1)(0.2s 1)(0.5s 1) 10K

10

1s

1 10K1

设essn(∞)=-0.099，可得K1=10。 系统的特征方程式是

s3+17s2+80s+100+1000K1=0

列劳斯表

s3 1 80

s2 17 100+1000K1

s1

1360 100 1000K1

17

s0 100+1000K1

系统稳定的条件是-0.1< K1<1.26。

当K1=10时，系统不稳定，可见仅改变K1值，不能使误差终值为-0.099。

1、设系统得单位阶跃响应为c t 8 1 e 0.3t ，求系统得过渡过程时间 2、设系统得单位脉冲响应函数如下，试求这些系统的传递函数

c t asin t bcos t，c t 0.2 e

0.4t

e

0.1t

3、