3.由巳知分布的随机抽样(蒙特卡罗方法)

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第三章 由已知分布的随机抽样1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

随机抽样及其特点 直接抽样方法 挑选抽样方法 复合抽样方法 复合挑选抽样方法 替换抽样方法 随机抽样的一般方法 随机抽样的其它方法作业

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第三章 由已知分布的随机抽样本章叙述由己知分布抽样的各主要方法，并给出 在粒子输运问题中经常用到的具体实例。

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1.

随机抽样及其特点

由巳知分布的随机抽样指的是由己知分布的总体 中抽取简单子样。随机数序列是由单位均匀分布的总 体中抽取的简单子样，属于一种特殊的由已知分布的 随机抽样问题。本章所叙述的由任意已知分布中抽取 简单子样，是在假设随机数为已知量的前提下，使用 严格的数学方法产生的。 为方便起见，用XF表示由己知分布F(x)中产生的 简单子样的个体。对于连续型分布，常用分布密度函 数f(x)表示总体的己知分布，用Xf表示由己知分布密度 函数f(x)产生的简单子样的个体。另外，在抽样过程中 用到的伪随机数均称随机数。

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2. 直接抽样方法对于任意给定的分布函数 F(x) ,直接抽样方法如 下：X n inf t , n 1,2, , NF ( t ) n

其中，ξ1,ξ2,…,ξN为随机数序列。为方便起见， 将上式简化为：X F inf tF ( t )

若不加特殊说明，今后将总用这种类似的简化形 式表示，ξ总表示随机数。

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inf 和 supinf------ infimum(下确界) The infimum or greatest lower bound of a set S is the largest number x so that s∈S implies that s≥x . sup------ supremum (上确界) Similarly the supremum is the least upper bound of the set.

In general (I believe), for any finite-valued interval X, sup(X) always exists but max(X) does not always exist.Similar arguments for min(X) and inf(X).

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证明下面证明用前面介绍的方法所确定的随机变量序 列X1,X2,…,XN具有相同分布F(x)。FX n ( x) P( X n x) P( inf t x)F ( t ) n

P( n F ( x)) F ( x)

对于任意的n成立，因此随机变量序列X1,X2,…, XN具有相同分布F(x)。另外，由于随机数序列ξ1, ξ2,…,ξN是相互独立的，而直接抽样公式所确定的函 数是波雷尔(Borel)可测的，因此，由它所确定的X1, X2,…,XN也是相互独立的([P.R.Halmos, Measure theory, N.Y.Von Nosrtand,1950]§45定理2)。

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1) 离散型分布的直接抽样方法对于任意离散型分布：

F ( x) Pi其中 x1 , x2 , … 为离散型分布函数的跳跃点， P1 , P2,…为相应的概率，根据前述直接抽样法，有离散 型分布的直接抽样方法如下：X F xI , 当 Pi Pii=1 i=1 I-1 I

xi x

该结果表明，为了实现由任意离散型分布的随机 抽样，直接抽样方法是非常理想的。

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绪论中的射击问题设

射击运动员的弹着点分布为 8 9 10 环数 7 0.2 命中8环 0.1 0.3 0.5 概率 0.1 0 . 5 命中9环 用计算机作随机试验(射击) 的方法为，选取一个随机数ξ,按 命中10环 右边所列方法判断得到成绩。 这样，就进行了一次随机试 验(射击),得到了一次成绩 N 1 g(r),作N次试验后，得到该运 g N g (ri ) 动员射击成绩的近似值 N i 1 0.1 命中7环

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例1. 二项分布的抽样二项分布为离散型分布，其概率函数为：n P( x n) Pn CN P n (1 P) N n

其中，P为概率。对该分布的直接抽样方法如下：X F n, 当 Pi Pii=0 i=0 n-1 n

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例2. 泊松(Possion)分布的抽样泊松(Possion)分布为离散型分布，其概率函数为：n! 其中，λ>0 。对该分布的直接抽样方法如下： P( x n) Pn e

n

X F n,

当 i=0

n-1

ii!

e i=0

n

ii!

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例3. 掷骰子点数的抽样掷骰子点数X=n的概率为：

1 6 选取随机数ξ,如 n 1 n 6 6 P ( X n) 则

XF n在等概率的情况下，可使用如下更简单的方法：

X F [6 ] 1其中[]表示取整数。

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例4. 碰撞核种类的确定中子或光子在介质中发生碰撞时，如介质是由多 种元素组成，需要确定碰撞核的种类。假定介质中每 种核的宏观总截面分别为Σ1,Σ2,…,Σn,则中子或 光子与每种核碰撞的概率分别为： i Pi i 1,2, , n t 其中Σt=Σ1+Σ2+…+Σn。碰撞核种类的确定方法为： 产生一个随机数ξ,如果

Pi=1

I-1

i

Pii=1

I

则中子或光子与第I种核发生碰撞。

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例5. 中子与核的反应类型的确定假设中子与核的反应类型有如下几种:弹性散射， 非弹性散射，裂变，吸收，相应的反应截面分别为Σel, Σin,Σf,Σa。则发生每一种反应类型的概率依次为 ：

f el in Pel Pin Pf Pa a t t t t 其中反应总截面Σt=Σel+Σin+Σf+Σa。

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反应类型的确定方法为：产生一个随机数ξ

Pel 弹性散射

Pel Pin 非弹性散射

Pel Pin Pf 裂变

吸收

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2) 连续型分布的直接抽样方法对于连续型分布，如果分布函数 F(x) 的反函数 F-1(x)存在，则直接抽样方 …… 此处隐藏：676字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……