高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结

好

2012.3.26

一.不等式(淮上陌客）

1.两实数大小的比较

a b a b 0 a b a b 0

a b a b 0 2.不等式的性质：8条性质.

a2 b2 2ab a2 b 1(a b)2

2

2

23.基 整式形

式

ab a b 22 本不

ab a b22等式

a b定理

ab式 根式形 2

a b 2(a2 b2

)

分式形ba

a

b 2(a,b同号） a 0 a 1 倒数形式 a 2

a 0 a 1

a 2

4.公式：

2 a b

a 1 b 1

2

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3.解不等式

x

(1)一元一次不等式 ax b(a 0)

x (2)一元二次不等式：

b

(a 0)ab

(a 0)

好

一元二次不等式的求 解流程：

一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：

高次不等式：

f(x)

0 f(x) g(x) 0 g(x) f(x) f(x) g(x) 0 0 g(x) 0 g(x)

(x a1)(x a2) (x an) 0

(4)解含参数的不等式：（1）

(x – 2)(ax – 2)>0

（2）x2 – (a+a2)x+a3>0；

（3）2x2 +ax +2 > 0；

注:解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有：

1、讨论a 与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；

二、运用的数学思想：

1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想

(4)含参不等式恒成立的问题：

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22x (3 a例1．已知关于x的不等式 ) x 2 a 1 0

在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围． 例2．关于x的不等式

、函数 1

2、分离参数后用最值 3

、用图象

y log2( ax2 ax 1)

对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.

例3.若对任意

x

x 0,2 a恒成立，

x 3x 1

则 的取值范围.

a

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、 函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.

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二次方程根的分布问题的讨论 f(k) 1．x 0

1< x2< k

b k 2a 0

f(k) 02．k < x1< x

b k 2

a 0

3．x1< k < x2

f(k) 0

：

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4． k1 < x1 < x2 < k2 5． x1 < k1 < k2 < x2

x

f(k1) 0

f(

k2) 0 f(k1) 0

0

f(k) 0

2

k b k12 2a

6． k1 <x1 < k2 < x2< k3

f(k1) 0

f(k2) 0 f(k) 0 2

4解线性规划问题的一般步骤：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

z ax by

z x2 y2

y

z

x

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练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。

2.求函f(x) 2 log1

2x logx(0 x 1)的最大值；

2

3 4.f(x)=x+

1

x 1

4）的最小值 4.求函数 f( x ) (x 1)x2 1

4( x 1)

的最小值.

5.已知两个正数 a ,b 满足 a b 4,

求使 28

a b m 恒成立的 m 的取值范围.

6 1.已知x>0,y>0，且

1x+9

y

=1，求x+y的最小值.