高三数学圆锥曲线大题训练

高三数学圆锥曲线大题训练

y2x2

1的焦点为F1,F2.离心率为. 1、设双曲线：2 3a

（1）求此双曲线渐近线l1,l2的方程；

（2）若A,B分别为l1,l2上的动点，且2 5F1F2,求线段AB中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

2、抛物线y2 4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积.

3、如图：直线L：y mx 1与椭圆C：ax y 2(a 0)交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。

（1） 求证：椭圆C：ax y 2(a 0)与直线L：y mx 1总有两个交点。 （2） 当a 2时，求点P的轨迹方程。

（3）是否存在直线L，使OAPB为矩形？若存在，求出此时直线L的方程；若不存在，说明理由。

2

2

2

2

4、已知圆锥曲线C1的一个焦点为F（1，0），对应这个焦点的准线方程为x 1，又曲线

过P(，AB是过F的此圆锥曲线的弦；圆锥曲线C2中心在原点，

其离心率e 一条准线的方程是y

，1。（1）求圆锥曲线C1和C2的方程。（2）当AB不超过8，且此弦e

所在的直线与圆锥曲线C2有公共点时，求直线AB的倾斜角 的取值范围。

5、正方形的一条边AB在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y=x上，求正方形的边长.

2

，0)， 6、如图，已知点F(1

直线l:x 1，P为平面上的动点，过P作直线

l的垂线，垂足为点Q，且QP QF FP FQ． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知MA 1AF，

MB 2BF，求 1 2的值；

圆锥曲线大题参考答案

a2 3

1、解：（1）由已知双曲线的离心率为2得： 2解得a2=1,所以双曲线的方程为

a

x2xxy 1，所以渐近线L1,L2的方程为y 0和y ＝0

33

2

（2）c＝a＋b＝4，得c＝2 ，所以F1F2 2c 4，又2AB 5F1F2所以AB=10

2

2

2

设A在L1上，B在L2上，设A（x1 ，

x1)，B(x2，－

x23

)

所以(x1 x2)2 (

x13

x2

1

)2 10即(x1 x2)2 (x1 x2)2 10

3x1 x2x x2

，y＝1 22设AB的中点M的坐标为（x，y），则x＝

所以x1＋x2＝2x ， x1－x2＝23y

x23y212

1 所以(23y) 4x 10整理得：

75253

2

x23y2 1，轨迹是椭圆。 所以线段AB中点M的轨迹方程为：

7525

2、解：由已知得F(1,0)，不妨设点A在x轴上方且坐标为(x1,y1)，

由 2得x1 1 2,x1 1

所以A(1，2)，同理B(4,-4), 所以直线AB的方程为2x y 4 0.

设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0,y0)，且 4 y0 2.

2y02 y0 4

4

则点P到直线AB的距离d=

2x0 y0 4

4

5

19(y0 1)2 22

5

所以当y0 1时，d取最大值

95

，又AB 35 10

119 3 27, 此时P点坐标为(, 1).

4210

所以△PAB的面积最大值为S

y mx 1

3．解：(1)由 2得(a m2)x2 2mx 1 0 a 0 4m2 4(a m2) 0 2

ax y 2

椭圆C：ax2 y2 2(a 0)与直线L：y mx 1总有两个交点。

xx x2yy1 y2

, (2)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),AB与OP交于点M，则有 1

2222

2m1

x x 即x x1 x2,y y1 y2，又由（1）得x1 x2 ， 12

2 m2a m2

2m2m4

x (1)y (mx 1) (mx 1) m(x x) 2 m( ) 2 (2)1212222

2 m2 m2 m

xm2x

m （3） y2y

422

2x y 2y 0(x 0,y 0) 将（3）代入（2）得y 2

4x2 2

y(1) (2)得

点P的轨迹方程为2x2 y2 2y 0(x 0,y 0)

（3） 由

OA OB 0 x1x2 y1y2 0 x1x2 (mx1 1)(mx2 1) 0 (m2 1)x1x2 m(x1 x2) 1 0

1 2m

) m() 1 0 m2 1 2m2 a m2 0 2m2 a 1 22

a ma m

当0 a 1时，这样的直线不存在；当a 1时，存在这样的直线，此时直线l

为 (m2 1)(

y 1 4、解：⑴过P作直线x=-1的垂线段PN. PN PF 4, 曲线C1是以F(1,0)为焦点，x=-1为准线的抛物线,且p 2. 曲线C1:y 4x； 依题意知圆锥曲线C

2为椭圆，

2

22ca2

b .又其焦点在y

a 1,c 3ac

3x2

y2 1 轴上， 圆锥曲线C2：2

（2）设直线AB：x my 1(m R),A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线定义得：

AB x1 x2 2，

又由

x m 1y 3x22 2 y 1

43m2 2

意

。

4得(3m2 2)y2 6my 1 0，其 2m

2

8 时0，

x1 x2

依题有

2m24

0 4

3m2 2

A3

8 20

即8

m

m ，

则

(kA

1

m

) k k

A

0B

2

直线AB的倾斜角 (0,] [, )。

33

y x b2

5、解：设CD的方程为y=x+b,由 2消去x得y-y+b=0，设C(x1,y1),D(x2,y2),则

y x

y1+y2=1,y1y2=b,∴｜CD｜ =

1k2

(y1 y1)2 4y1y2=2 8b，又AB与CD的距离

d=

4 b2

,由ABCD为正方形有2 8b=

4 b2

,解得b=-2或b=-6.∴正方形的边长为32

或52.

，y)，由QP 6、解法一：（Ⅰ）设点P(x，y)，则Q( 1QF

(x 1，0) (2， y) (x 1，y) ( 2，y)，化简得C:y2 4x（Ⅱ）设直线AB的方程为： x my 1(m 0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M 1，

2

2 ， m

y 4x，

联立方程组 ，消去x得：

x my 1，

y2 4my 4 0， ( 4m)2 12 0，故

y1 y2 4m，

yy 4． 12

由MA 1AF，MB 2BF得：

22

y1 1y1，y2 2y2，整理得：

mm

22， 2 1 ， 1 1 my1my2

1 2 2

2 11

m y1y2

2