高中数学建模论文_易拉罐形状和尺寸的最优设计方案

高中数学建模赛前论文

易拉罐形状和尺寸的最优设计方案

摘要：

本文讨论的是兼顾圆台状易拉罐的不同壁厚，建立以易拉罐材料体积为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。通过非线性规划与条件极值求得结果。在此基础上，引入了黄金分割点，环保以及材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，具有较强的实用性和推广性。

关键词：非线性规划 条件极值

正文

生活中稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

一、提出问题

1、问题为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？

2、易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？从数学的角度怎样给予合理的解释？

3、和现实中的实际情况有什么差异，为什么？

二、模型假设与符号约定 2.1模型假设

1、易拉罐的容积是一定的；

2、易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比；

3、各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响； 4、网上查的数据真实可靠

2.2符号约定

高中数学建模赛前论文

三、问题分析与模型建立

对于问题1：可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度等相关数据.

对于问题2：将易拉罐看成正圆柱体，考虑到易拉罐的侧壁、顶盖、底面的厚度均不相同且为常数，以圆柱体材料的体积作为目标函数，其容积等于定值作为约束条件，构建非线性规划模型并通过模型简化，得到解析的最优解，以此来探讨最优形状的设计。此为模型1。在此基础上，将易拉罐看成是圆台与圆柱的组合体。此时目标函数——材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成，因此目标函数表达式变得比较复杂。此时形状由圆柱的高和半径及圆台的高和上表面半径决定，以此作为决策变量对模型一稍作修改建立模型2。

对于问题3：在容积一定的条件下，球体是最节省材料的，然后同样考虑人们拿着易拉罐时的手感舒适度和放置时的稳定性。接着考虑“饮料”对易拉罐的压力，把“易拉罐”的下底做成球冠一样的拱形，在这些条件下建立了多约束非线性规划模型即模型3。

四、模型求解

4.1、对于问题1：

取一个市场上最常见的饮料量为355毫升的易拉罐为例

在模型一中，又分为

4.2.1易拉罐各点罐壁厚度相同的情形

图1、各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐

高中数学建模赛前论文

如图所示，由图1可知：易拉罐的容积为V r2h； 易拉罐的表面积为M S 2 rh r2 r2 2 r2 rh ；

因此，建立以表面积最小为目标函数，以体积一定作为约束条件的非线性规划模型，即

minS 2 r2 rh

V r2h

s.t.

r,h 0

求解得r/h=0.5，实际中r/h=0.24；两者偏差太大,所以模型不符合事实，实际上由于考虑了液体的压强等诸多因素,在生产过程中易拉罐的顶盖、侧壁和底面的材料厚度是不同的，引入a、d、c分别表示易拉罐的顶盖、底面和侧壁的厚度,加以改进模型

4.2.2易拉罐有不同罐壁厚度的情形

易拉罐上、下底面，侧面的厚度不同，导致用料量也不相同。根据材料的用量与其体积成正比，那么在容积一定时，所用材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸。

图2、有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐

如图2所示，做一个易拉罐所需要的材料为：Y r2h r c h a d ，

2

应使Y取得最小值。由此可得：

minM Y r2h r c h a d

2

V r c 2 h a d s.t.

a,c,d 0

由=0；得r/h=c/(a+d)，由问题1中数据得，r/h=0.2461，与实际结果0.24

相比，结果更优。

4.3对于问题3建立模型二，圆柱体加圆台形易拉罐尺寸的最优设计模型

4.3.1各点罐壁厚度相同的含圆台易拉罐

高中数学建模赛前论文

图3、各点罐壁厚度相同的含圆台易拉罐

由图3得：圆台的上面、侧面的面积为S1 r1 l r1 r2l r1 l r1 r2

2

圆柱侧面的面积为S2 2 r2h 圆柱底面的面积为S3 r2

此时易拉罐的表面积为：S S1 S2 S3 r1 l r1 r2 2 r2h r2

2

2

2

minM S r1 l r1 r2 2 r2h r2

2

2

222

V rh mr r r1r2212 3 s.t.

r1,r2,l,h 0 r2 r1

4.3.2各点罐壁厚度相同的含圆台易拉罐

图4有不同罐壁厚度易拉罐的圆台

如图4所示，易拉罐所需材料量为

Y r2h

2

3

mr1 r2 r1r2 r2 c h d

2

2

2

3

r1 b 2 r2 c 2 r1 b r2 c m a

3

由此可得

minM Y r2h

2

3

mr1 r2 r1r2 r2 c h d

2

2

2

m a r1 b 2 r2 c 2 r1 b r2 c

高中数学建模赛前论文

V r2 c 2 h d m a r1 b 2 r2 c 2 r1 b r2 c

3

s.t. r1,r2,l,h 0

r2 r1

a,b,c,d 0

4.4对于问题4建立模型三，圆柱体加 …… 此处隐藏：931字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……