正切函数的性质与图像.ppt

正切函数 性质 图像 几何画板 公开课

伊宁三中

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类比正弦函数的定义，定义一个正切函数 对于任意一个实数x,

都有唯一确定的值tanx与之相对应，按 照这个对应法则建立的函数关系表示为y=tanx,叫作正切函数。

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类比正弦函数 ，从哪些方面研究 正切函数？ 定义域 x | x k , k Z 2

值

域

Rtan( x ) tan x

周期性 奇偶性

T

tan( x) tan x奇函数 ( k , k ), k Z 2 2

单调性

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如何画出正切函数的图象正切 周期性 平移变换 函数 (- , ) x | x k , k Z 2 2 2 图像 几何画板演示

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对称性

对称中心：( k (k ,k 0) , 0), z 2

( k , 0) 2

y

1 -π/4 -π/2

-3π/2

-π

O π/4 -1

π/2

π

3π/2

x

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类比正弦函数 ，从哪些方面研究 正切函数？ 定义域 x | x k , k Z 2

值

域

Rtan( x ) tan x

周期性 奇偶性

T

tan( x) tan x奇函数 ( k , k ), k Z 2 2

单调性

k ( ,0),k z 对称中心 2

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正切曲线的简图的画法：

π 2

4

4

π 2

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例1比较王新敞奎屯 新疆

解

2 tan tan tan tan 4 5 4 5 2 又0 , 4 5 y tan x在 0, 内单调递增 2

13 tan 4 13

与

17 tan 5 17

的大小

王新敞奎屯

新疆

tan

2 , 4 5 2 tan tan , 4 5 tan 13 17 即 tan tan 4 5

将角转化到同 一单调区间内

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例2 求函数 y tan 2 x 3 的定义域、周期和单调区间. 解:函数的自变量 x应满足 x k , k Z, 2 3 2

即

x 2k , k Z, 3

所以,函数的定义域是 x x 2k , k Z . 3 由于 y tan x tan x 3 3 2 2 tan x 2 f ( x 2), 3 2

T

因此函数的周期为2.

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例2 求函数 y tan x 的定义域、周期和单调区间. 3 2由 k < x <k , k Z, 2 2 3 2 2k <x<2k , k Z. 3 3

解得

因此,函数的单调递增区间是: 2k ,2k , k Z. 3 3

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练习： 1、比较大小：0 < (1)tan138 _____tan143 。 0

13π > 17π (2)tan()_____tan() 4 52、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调性。k 定义域：{ x\x , k z} 3 6 值域： R k k 单调递增区间

:( , ) ,k z 6 3 6 311

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小结：(1)y tan x 的图像是利用平移正切线得到的，当我们获得 , 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 2 2 (2)性质: 值 周 定义域 域 期 { x x k , 2 R k Z}

奇 偶 性 奇 函 数

单调增区间

渐近线方程

k , k 2 2 k Z

x k

2

k Z

(3)思想方法： 类比、推理、转化

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2

yT2

T1A

OT3

T4

4

如图，在 (0, ) 内 2 1 2 AT1 AT2 1 即 tan 1 tan 2 因而 y tan 在 (0, ) 单调递增； 2 ( , 0)内 x 在 2 4 3 3 AT4 AT3 即 tan 4 tan 3 因而 y tan 在 ( , 0) 单调递增； 2 所以 y tan 在 ( , )单调递增

2 2

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综上

( , ) 是 y tan 2 2

的一个单调递增区间。

又周期为 k 所以

, k z且k 0

y tan 在每一个开区间 ( k , k ), k Z 2 2

单调递增，无单调递减区间。

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图像特征： 1、间断性：正切曲线是被互相平行的直线 x k , k Z 2所隔开的无穷多支曲线组成的。

2、 在每一个开区间 ( k , k ), k Z 内，图像自左向 2 2 右呈上升趋势，向上与直线 x k , k Z 无限接近但 2 永不相交；向下与直线 x k , k Z 无限接近但永不 2相交。

将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。 2请同学们从正切函数图像出发，验证其性质。