高等数学函数的极限与连续习题精选及答案(3)

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

2

1

a2 x2 1 2ab x 1 b2 x2 x 1 ax b lim lim2x x x 1 ax bx x 1 ax bx

欲使上式成立，令

上式化简为

1 a2

0，∴a 1，

2

1 b

1 2ab 1 2ab x 1 b2 1 2ab lim lim lim

x xx 1 a∴1

a 1，1 2ab 0，b 2

10、函数f x

的间断点是（ x 0,x 1 ）．

11

xx2 x 2

11、f x 2的连续区间是（ ,1 , 1,3 , 3, ）．

x 4x 3ax 2sinx

2，则a （ 2 ）12、若lim．

x x ∴aax 2sinxsinx lim lim a 2 a 0 a 0 2 limx x x xx

1

2

13、lim

sinx

（ 0 ）is，limxn

x x x

1

x

x 0

1

（ 1 ）， x

kx

lim 1 x

1 k

，lim 1 （ e ）． （ e 1 ）

x x

sin1

x 1

k

∵lim

sinx11

lim sinx 0 limxsin lim

x x xx xxx 1

x

lim 1 x lim 1 ( x)

x 0

x 0

1x1

( 1) x

1 1

e 1 lim 1 lim (1 )x ek

x x x x

x

kx

14、x

limsin(arctanx) （ 不存在 ）iclarcont(is)，m

n

x （ 0 ）

三、选择填空：

1、如果limxn a，则数列xn是（ b ）

a.单调递增数列 b．有界数列 c．发散数列

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

2、函数f x logax

x2 1是（ a ）

a．奇函数 b．偶函数 c．非奇非偶函数 ∵

f x loga x ( x)2

1

log1a

x x2

1

logax x2 1 f x

3、当x 0时，ex

1是x的（ c ）

a．高阶无穷小 b．低阶无穷小 c．等价无穷小

4、如果函数f x 在x0点的某个邻域内恒有f x M（M是正数），则函数f x 在该邻域内（a．极限存在 b．连续 c．有界

5、函数f x

1

1 x

在（ c ）条件下趋于 . a．x 1 b．x 1 0 c．x 1 0

6、设函数f x sinx

x

，则limx 0f x （ c ）

a．１ b．－１ c．不存在 ∵sinx

xlim

lim

sinxsinx 0 0xx 0 0x xlim 0 0x

1

limsinxsinx0x xlim 0 0x

1 x 0 根据极限存在定理知：limx 0

f x 不存在。

7、如果函数f x 当x x0时极限存在，则函数f x 在x0点（ c ） a．有定义 b．无定义 c．不一定有定义

∵f x当x x0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。 8、数列１，１，

12，２，13，３，…，1

n

，n，…当n 时为（ c ） a．无穷大 b．无穷小 c ．发散但不是无穷大

9、函数fx 在x0点有极限是函数f x在x0点连续的（ b ）

a．充分条件 b．必要条件 c．充分必要条件 10、点x 0是函数arctan

1

x

的（ b ） a．连续点 b．第一类间断点 c．第二类间断点 ∵1xlim 0 0

arctan

x 2 1 xlim 0 0arctanx 2

根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点x 0是函数sin

1

x

的（ c ） a．连续点 b．第一类间断点 c．第二类间断点 四、计算下列极限：

nn

1、lim 1 n 3n

n

解

limn 1 n 3n limn (13 1( 1)n13 n) 3

c ）