判别式与韦达定理-(2)

△ =16（x-a）-16（4x-4ax+a）≥0

222

2

16x(3x 2a)≥0 0≤x≤a.

3

22

同理可证：0≤y≤a，0≤z≤a.

33

222

例5设a1，a2，a3，b是满足不等式（a1+a2+a3）≥2（a1）+4b的实数. a2 a3

2

求证：a1a2+a2a3+a3a1≥3b. 证明 由已知可得

22a3 2 (a1 a2) a3 [(a12 a2) 2a1a2 4b]≤0. 22设a3 2 (a1 a2)a3 [(a12 a2) 2a1a2 4b] r, 22则a3 2 (a1 a2) a3 [(a12 a2) 2a1a2 4b r] 0.

∵a3是实数， 故△≥0，即有

22（a1+a2）≥（a1）-2a1a2+4b+r a2

2

22≥2（a1）-（a1+a2）+4b. a2

2

22于是（a1+a2）≥（a1）+2b，∴a1a2≥b. a2

2

同理有a2a3≥b，a3a1≥b.三式相加即得 a1a2+a2a3+a3a1≥3b.

例6 设a、b、c为实数，方程组

y x y x

y ax2 bx c与 y ax2 bx c

均无实数根.求证:对于一切实数x都有

|ax2 bx c|＞

1

. 4|a|

y x y x至少有一

y bx c, y bx c

2

证明 由已知条件可以推出a≠0，因为若a=0，则方程组 个有实数解.

进一步可知，方程ax+bx+c=±x无实根，因此判别式△=(b 1) 4ac＜0，

2

于是 （b-1）+（b+1）-8ac＜0.

2

即 4ac-b＞1.

2

b4ac b2 2

∴|ax bx c| |a| x 2

2a4a

2

＞a

11

. 4a24|a|