高中数学教育教学论文 浅谈导数的应用(2)

2 若函数)(x f y =在某个区间内可导，则当0)('>x f 时，)(x f 在此区间内为单调增函数：当0)('<x f 时，)(x f 在此区间上为单调减函数。

利用上述结论，可以研究函数的单调性。

例2：（2004全国高考试题）已知的单调区间求函数ax e x x f R a ⋅=∈2)(,。 解：函数f(x)的导数

ax ax e ax e x x f ⋅+⋅=2'2)(

ax e ax x )2(2+=

(1) 当a=0时，若x<0，则0)(,0;0)(''

>><x f x x f 则若

.),0(,)0,()(,0为增函数在区间为减函数在函数时当+∞-∞=∴x f a

(2) 0)2()(,02'>⋅+=>ax e ax x x f a 由时当解得：02>-<x a

x 或 0)2()(2'<⋅+=ax e ax x x f 由解得：.02<<-x a

∴当a>0时，函数f(x)在区间（-10，-a

2）及区间（0，+∞）为增函数，在区间（-a

2，0）内为减函数。 (3) 当a<0时，由a

x x f 20:,0)('-<<>解得. 由.20:,0)('a

x x x f -><<或解得 .)2,0()(,0内为增函数在区间函数时当a x f a -<∴，在区间（-10，0）及区间（-a

2，+∞）内为减函数。

[评述]本题考查导数的概念和运算，应用导数研究函数单调性的方法，同时考查了分类讨论的思想。 例3：证明：当)1(0x l x x n +>>时

解：设)1()(x l x x f n +-=

当0>x 时，01111)('>+=+-=x

x x x f