2020-2021学年江西省南昌市八一中学、麻丘高级中(13)

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数，利用()00f =求得1010a =，所以()2020

101021

x

f x -+=，再求函数()f x 的值域．

【详解】（1）()f x 是增函数，证明如下： 函数()f x 的定义域为()∞∞-,+，且()()

212020

2202021

1

x x x f x a a ⋅+-==-

++ 任取()12,,x x ∈∞+∞-，且12x x <

则()()(

)

(

)

12

11222120202220202020 2121(21)21

x x x x x x f x f x a a --=--+=++++．

因为2x

y =在R 上单调递增，且12x x <，所以

12022x x <<,12 220x x -<,1 210x +>,2 210x +>,

所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以()f x 在()∞∞-,+上是单调增函数．

（2）由奇函数定义域关于原点对称，320b b ∴-+=，即1b =

()f x ∴是定义在[2,2]-上的奇函数，()00f ∴=，即()0

2020

0021

f a -

==+，解得1010a =，所以()2020

101021

x f x -

+=， 由（1）知()f x 在[2,2]-是增函数，()()min 2606f x f =-=-，

()()max 2606f x f ==，故函数()f x 的值域为[606,606]-．

【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，解题的关键是要利用函数的奇偶性的定义域关于原点对称，求得b ，若为奇函数在原点有意义，必有

()00f =，求得a ，再利用函数的单调性求值域，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．已知幂函数()()

2

43t

f x t t x -=+在区间(0,)+∞上单调递减，

（1）求幂函数的解析式及定义域

（2）若函数()2x

g x k =-，满足对任意的1[1,16)x ∈时，总存在2(1,5)x ∈使得

()()12f x g x =，求k 的取值范围.

【答案】（1）()1

4

f x x

-=，(0,)+∞；（2）3

,231⎡⎫⎪⎢⎣⎭

【分析】（1）利用幂函数的定义及函数的单调性列出关于t 的方程，求解即可.