几何代数06-07试题含答案(4)

下证 Ax=b 只可能有 n-r+1 个线性无关解. 因为 Ax=b 任一

个解都可表示为

x = ξ+ l1 η1 + l2 η2 +...+ ln-r ηn-r

其中 l1 , l2 , ..., ln-r 为一组常数， 以及

A – B = (MT) -1 (E- )M-1.

因此 A-B 与对角阵 E- 相似. 假设 = diag{ d1, d2 , …, dn }. 又因为 A-B 是正定的, 所以其特征值均为正数，即 E- 的对角元素均为正 数. 则有 1>di (i=1,2,…,n). 于是不难得到 -1-E 是正定的. 注意到

x = ξ+ l1 η1 + l2 η2 +...+ ln-r ηn-r

=(1 -l1 -l2 -...-ln-r )ξ+ l1 (ξ+η1)+ l2 (ξ+η2)+...+ ln-r (ξ+ηn-r)，

所以 Ax=b 任一个解都可由 ξ，ξ+η1 , ξ+η2 , …,

ξ+ηn-r 这样一

组线性无关解进行线性表示. 于是任给 Ax=b 一个线性无关的解向 量组，也可由 ξ，ξ+η1 , ξ+η2 , …, ξ+ηn-r 进行线性表示，则解 向量组的秩不会超过 n-r+1， 自然解向量组的个数也不会超过 n-r+1.

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3.

若A、B 都是可逆的实对称矩阵，且 A、B、A B

都是正定矩阵，证明： B

1

A 1 也是正定矩阵．

证：先证明下述结论：

给定两个同阶的正定矩阵 A 和 B, 则一定存在一个可逆阵 M 使 得

MTAM=E，

MT BM= ， 是对角阵.

事实上，A 正定=>存在可逆 P 使 P TAP=E；对于 P TBP, 其是对称 的, 所以存在正交阵 Q 使得 QT(P TBP)Q= ， 是对角阵；而 QT(P TAP)Q =Q TEQ=E. 于是可取 M=PQ 使上述结论成立.

从上述结论可得 A=(MT) -1EM-1, B=(MT) -1 M-1. 那么

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B-1 – A-1 = M -1MT - MEMT = M( -1-E)MT, 所以 B-1 – A-1 与 -1-E 是合同的，自然也是正定的.

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