概率论与数理统计A 7.1-7.2

第七章作业题P192: 1, 2, 3, 4, 6; P196: 1, 2, 3, 5.

P209: 1, 3, 4, 6, 7;P214: 2, 5, 7, 9,10.

统计推断

参数估计

点估计 区间估计

假设检验

Ch7

参数估计

§7.1 求点估计的方法

§7.2 估计量的评价标准§7.3 区间估计

一般常用 表示参数，参数 所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用 表示。参数估计问题就是根据样本对 上述各种未知参数作出估计。

参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。

假如我们要估计某校男生的平均身高. (假定身高服从正态分布 N ( , 0.12 ) ) 从该总体选取容量为5的样本, 样本值为 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69

这是点估计. 若估计 为1.68, 若估计 在区间[1.57, 1.84]内， 这是区间估计.5

点估计：设总体 X 的分布类型已知，但有未知参 数 ,构造一个适当的统计量：

( X , , X ) 称为参数 的估计量 1 n

( X , , X ) ,得到的一个值： 把样本值代入 1 n ( x , , x ) 称为参数 的估计值 1 n ( x , , x ) 是实数域上的一个点，现用它来 注：由于 1 n6

估计 ,故称这种估计为点估计。

这里如何构造统计量 并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。 涉及两个问题: 其一 是如何给出估计，即估计的方法问题； 其二 是如何对不同的估计进行评价，即估

计的好坏评价标准。

(一 ) 矩估计法 ( 简称“矩法 ”) 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 .是英国统计学家 K. 皮尔逊 最早提出的 . 其基本思想是 用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 大数定律

理论依据:1 n k Ak X i n i 1n

大数定律 k E ( X )kP

P

1 k E{[ X E ( X )]k } Bk ( X i X ) n i 1

g ( A ,..., A ) g ( ,..., ) 1 r 1 r

P

例1 设总体X的概率密度为 其中 1 ( 1) x , 0 x 1 f ( x) 是未知参数, 其它 0, X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.数学期望 是一阶 原点矩

解: 1 E ( X ) x( 1) x dx

1 ( 1) x dx 0 2 2 1 1 解得: 总体矩 1 1 样本矩1

0 1

1

10

2 X 1 为 的矩估计. 1 X

例 2 设总体 X 的均值 和方差 都存在 , 且2

0 ,但 , 未知 ,又设 X1, , X n 是来自 X2

2

的样本，求 , 的矩估计量。2

例3 设总体 X~U(a,b),a,b未知， X1,X2,…,Xn是取自X 的样本, 求参数 a,b 的 矩估计量.

例 设总体服从指数分布，由于EX=1/ , 即 =1/ EX,故 的矩法估计为 1/ x 1/ Var( X )

另

外，由于Var(X)=1/ ,其反函数为 因此，从替换原理来看， 的矩法估计也可 取为 1 1/ s s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯 一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常 应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。13

2

二 最大似然估计法 (最大似然法)这个方法常归功于 英国统计学家费希尔(Fisher) . 费希尔在1922年发现了这一 方法，并首先研究了这 种方法 的一些性质 .

Fisher

最大似然法的基本思想 看一个简单例子： 某位初学打猎的同学与 一位经验丰富的猎人一 起外出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 .如果要你估计， 这一枪是谁放的？15

问题：设总体 X 是离散型的，其分布律形式为

P{X xk } p( xk ; ) (k 1,2, )

未知， x1 , x2 , , xn 是来自总体 X大似然法对

的一组样本观察值，用最

做出估计， 即要使 x1 , x2 , , xn 出现的可能性最大。

(1) 若 只能取 1 和 2 ( 2) 若 16