利用相关点法巧解对称问题

利用相关点法巧解对称问题

尤新建

对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心和轴对称两种。尽管试题年年翻新，情境不断变化，甚至不落俗套，但经研究可以发现，其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。笔者认为，图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称，因此，抓住对称点之间的数量关系及其内在联系，可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法，亦简称相关点法。下面通过一些实例加以说明。 一. 函数中的对称问题 例1 （2001年高考）设称。证明

是定义在R上的偶函数，其图象关于直线

对

是周期函数。

图象上任意一点，则其关于

，因此结合上式有：

知：

是周期函数，的对称点可求得：

是定义

证明：设（x，y）为在R上的偶函数，故有：

，于是根据函数关系有：

，故由

。

例2 （1997年高考文）设

的图象关于（ ）

A. 直线C. 直线

对称 B. 直线对称 D. 直线

对称 对称

上任意一点，则有上一点，也有

，又因为

是定义在R上的函数，则函数

与

解：可设（x1，y）为若（x2，y）为

；

，一般地，由

y）关于直线

可知：，所以

对称，故选（D）。

，即（x1，y）与（x2，

评注：例1是一个函数图象本身内在对称问题，例2是两个函数图象之间的对称问题，尽管问题情境不同，但解法有相通之处，均可抓住对称点（即相关点）加以讨论。

二. 三角函数中的对称问题

例3 （2003年高考江苏卷）已知函数的偶函数，其图象关于点的值。 解：由即所以

对任意x都成立，且

是偶函数，得

，所以得

对称，且在区间

是R上

上是单调函数，求

依题设由于

，所以解得，这时

的图象关于点M对称，可设P（x，y）是其图象上任意一点，P点关的对称点可求得为：

即有，（*）

取x＝0，得，所以，

所以

所以

当时，上是减函数；

当时，在上是减函数；

当时，上不是单调函数；

所以，综合得

评注：本题是三角函数中含有中心对称问题，抓住对称点之间的中心对称关系，利用中点坐标公式求出对称点（或称相关点），寻求两相关点（对称点）之间的函数等量关系（见*）是解决问题的关键。 三. 解析几何中的对称问题

例4 （1998年高考理）设曲线C的方程是别平行移动t、s单位长度后得曲线C1 （I）写出曲线C1的方程；

，将C沿x轴、y轴正向分

（II）证明曲线C与C1关于（I）解：曲线C1的方程为：

点对称；

（II）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）。设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有：

所以

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：

可知点

在曲线C1上

反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。因此，曲线C与C1关于点A对称。

例5 （1997年高考文）椭圆C与椭圆C1：对称，椭圆C的方程是（ ）

关于直线

A. B.

C. D.

的对称点可求得为

解：设（x，y）是椭圆C上任意一点，则其关于直线

，该点在椭圆C1上，故其坐标适合椭圆C1

的方程，将其代入有：

，化简后知选A。

从以上几个方面的研究可以发现，相关点法是解决数学对称问题的有效方法，因为它抓住了图象对称的基本元素（即图象上点与点之间的一一对应的对称关系）和核心，并且将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。此外，相关点法在解决几何中才被得以提出并加以运用于解决对称问题，这一点从例4，例5可以感觉到，实际上，函数及三角函数中的对称与解析几何中的对称是相通的，因此，相关点法完全可以加以推广，实行方法共享。

哈尔滨师范大学（150080）