高数A(2)习题课(9)三重积分

课件制作：全志勇 于红香

一、 二、

内容总结 作业选讲

三、四、

典型例题课堂练习

一、内容总结1、三重积分的概念(1)定义:

f ( x,

y , z )dv lim f ( i , i , i ) v i 0 i 1

n

(2)物理意义:

M ( x, y, z )dv

表示体密度为 ( x, y, z ) 的空间物体 的质量.

2、三重积分的性质(1)线性性质：

[ f ( x,

y, z ) g( x, y, z )]dv f ( x , y, z )dv g( x , y, z )dv

(2)可加性： f ( x , y, z )dv f ( x , y, z )dv f ( x , y, z )dv 1 2 1 2

(3) 的体积：V dv

(4)单调性：若 在上，f ( x, y, z ) g( x, y, z ) ,则

f ( x,

y, z )dv g( x , y, z )dv

(5)估值性质: 设 m f ( x, y, z ) M , ( x, y, z ) , 则mV f ( x , y, z )dv MV

(6)中值定理：设函数 f ( x , y, z ) 在闭区域 上连续， 是 V 的体积，则在 上至少存在一点 ( , , ) ,使得

f ( x,

y, z )dv f ( , , ) V

3、三重积分的计算方法(1)利用直角坐标计算

f ( x,

y, z )dv f ( x , y, z )dxdydz

a) “先一后二”法 若D 为 在 xoy面上的投影区域 {( x, y, z ) | z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ), ( x, y ) D}

则

f ( x,

y, z )dxdydz

dxdy D

z2 ( x , y ) z1 ( x , y )

f ( x , y, z )dz

b) “先二后一”法 若 {( x, y, z ) | c1 z c 2 , ( x, y ) Dz } 其中 Dz 是竖坐标为 z 的平面截 闭区域所得到的一个平面闭区域，则

f ( x,

y , z )dxdydz dz f ( x , y , z )dxdyc1 Dz

c2

(2)利用柱面坐标计算 若 {( , , z ) | z1 ( , ) z z 2 ( , ), 1 ( ) 2 ( ), } 则 f ( x, y, z )dxdydz f ( cos , sin , z ) drd dz

d

2 ( ) 1 ( )

d

z 2 ( , ) z1 ( , )

f ( cos , sin , z ) dz

(3)利用球面坐标计算 若 {(r , , ) | r1 ( , ) r r2 ( , ), 1 ( ) 2 ( ), } 则

f ( x,

y, z )dxdydz

f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r 2 sin drd d

d

2 ( ) 1 ( )

d

r2 ( , ) r1 ( , )

f (r sin cos , r sin sin , r cos ) r 2 sin dr

4、三重积分的解题方法计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算. 通常要判别被积函数 f ( x, y, z ) 和积分区域

所具有的特点. 如果被积函数 f ( x, y, z ) g( x 2 y

2 z 2 )积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果 被积函数 f ( x, y, z ) g( z ) ,则可采用先二后一法计算；如果2 2 被积函数 f ( x, y, z ) g( x y ),积分区域 为柱或 的投影

是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算.

二、作业选讲(P72.四).计算三重积分 其中 是由 xOy 平面上曲线 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 z x 5 所围成的闭区域 . x x O 提示: 利用柱坐标 y r cos y 5 z r sin x 2 1r x 5 2

: 0 r 10 0 2π2π 0

原式

d

0

10 3

250 r dr r 2 d x π 3 2

5

三、典型例题例1. 设 由 确定 , 所确定 , 则 由

x2 y2 z 2 R2 , x 0, y 0 , z 0

C

上半球

( B)

1

y dv 4

2

y dv

第一卦 限部分

z Rx yz dv

( D)

1

x yz dv 4

2

1 2 O x

y

例2. 把积分 其中 由曲面所围成的闭区域 . 提示: 积分域为

化为三次积分,及平面

:原式

O1x2 y 2

1

1

1

dx 2d y x

0

f ( x, y , z ) d z

例3 . 计算积分

其中 是两个球zRR 2

( R > 0 )的公共部分. 用圆锥面

(由作业P71三1修改)

解法1 :利用球面坐标计算.

3 两部分 1 2,其中 1 : 0 r 2 R cos ,

将 分成

o

y

3 2 2 : 0 r R,0 ,0 2 3 于是,得

,0 2

x

z 2 dxdydz z 2 dxdydz z 2 dxdydz

r 2 cos 2 r 2 sin dr 0 0 3 2 R 59 5 2 2 2 3 R d d r cos r sin dr 0 0 0 480 z2

2

1

d d

2 R cos

2

解法2:利用柱面坐标计算.由于 在 xoy 平面的投影区域为 3R 2 Dxy : x 2 y 2 4 故在柱面坐标下，2 2 2 2

RR 2

o

yx

3R : R R z R , 0 , 0 2 2

D2z

z

R

解法3 : 由于被积函数缺 x , y , 利用“先二后一” 计算方便 . 原式 =D1 zR

R 2

R 2 d xd y d xd y z dz R D1 z D2 z 0 2 R R 2 2 z 2 π (2 R z z 2 ) d z z π (R 2 z 2 ) dz R 0 2 59 5 2 z 2 dz

x

O

y

480

πR

注意：从上面三种解法的计算过程中不难发现,“先 二后一”法最为简便.

例4 . 计算 e z dv , : x 2 y 2 z 2 1.分析：由于被积函数中含有绝对值，故应首先考虑 如何去掉绝对值，注意到积分区域 关于三个坐标面 e |x|关于 x , y, z 都为偶函数，故 均对称，同时被积函数 由三重积分的对称性结论，可简化所求三重积分. 解 设 1为 在第一卦限内的区域，则

e dv 8 e dv 8

0 [ dxdy]e dz z zz

1

2 (1 z )e dz 2 .2 z 0

1 1

D( z )

注意：若本题用球面坐标法计算,虽积分限很简单， 但被积函数的积分却不易求得.

例5. 试计算椭球体 …… 此处隐藏：1140字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……