《随机过程》第一章习题 Copy

第一章 随机过程及其分类

1、 设随机向量(X,Y)的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布N(0,1)。

（a） 分别写出随机变量X Y和X Y的分布密度

（b） 试问：X Y与X Y是否独立？说明理由。

2、 设X和Y为独立的随机变量，期望和方差分别为 1, 1和 2, 2。 22

（a） 试求Z XY和X的相关系数；

（b） Z与X能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

3、 设{X(t),t 0}是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为

E{X(s)X(t)} B(t s),s t，且是一个周期为T的函数，即B( T) B( ), 0，试求方差函数D[X(t) X(t T)]。

4、 考察两个谐波随机信号X(t)和Y(t)，其中：

X(t) Acos( ct ),Y(t) Bcos( ct)

式中A和 c为正的常数； 是 , 内均匀分布的随机变量，B是标准正态分布的随机变量。

（a） 求X(t)的均值、方差和相关函数；

（b） 若 与B独立，求X(t)与Y(t)的互相关函数。

5、 设 (t) Xsin(Yt);t 0，而随机变量X、Y是相互独立且都服从[0,1]上的均匀分布，

试求此过程的均值函数及相关函数。

6、 设随机向量X X1,X2 ~N , ，其中： 1, 2 1,2 ，

14/5 32 Y Y,Y ，令随机向量12 4/51 23 X。

（a） 试求随机向量Y的协方差矩阵、EY2Y1及E Y1 Y2 ；

（b） 试问X2 EX2X1与X1是否独立？证明你的结论。

7、 设{ n,n 1,2, }是一列独立同分布随机变量序列，且P{ n 1} 1 p，

P{ n 1} p，令：X0 0，Xn ( 1 2 n)/n，n 1,2, 。求随机序列{Xn,n 1,2, }的均值函数、协方差函数和相关函数。

8、 设X~N( , )，Y满足参数为p的几何分布，即P{Y k} (1 p)2k 1p，其中：

0 p 1,k 1,2, ，X与Y独立。令X(t) X e tY，试求：

（1）X(t)在t 0的一维概率密度函数；

（2）E{X(t)}，Cov(X(s),X(t))（0 s t）；

9、 设X(t) Acos( t) Bsin( t)，t R，其中A和B是独立同分布的均值为零方差为

2的正态随机变量，试求：

（1） X(t)的均值函数和相关函数；

（2） X(t)的一维概率密度函数；

（3） X(t)的二维概率密度函数。

10、 设随机过程 (t) Xcos2t Ysin2t， t ，其中随机变量X和Y独

立同分布。

（1） 如果X~U(0,1)，试求过程 (t)的均值函数和相关函数；

（2） 如果X~N(0,1)，试求过程 (t)的均值函数和相关函数；

11、 设有一脉冲数字通信系统，它传送的信号是脉宽为T0的脉冲信号，每隔T0送出一

个脉冲。脉冲幅度X(t)是一随机变量，它可取四个值{ 2, 1, 1, 2}，且取这四个值的概率是相等的，即：

P{X(t) 2} P{X(t) 1} P{X(t) 1} P{X(t) 2} 1/4

不同周期内脉冲的幅度是相互统计独立的，脉冲的起始时间相对于原点的时间差u为均匀分布在(0,T0)内的随机变量。试给出随机过程X(t)的状态空间，画出样本函数及求出其均值函数和相关函数。

12、 设有一质点在x轴上作随机游动，即在t 1,2,3, 时质点可以在x轴上正向或反

向移动一个单位距离，作正向和作反向移动的概率分别为p和q 1 p，且各次游动是相互独立的。经过n次游动，质点所处的位置为Xn，试求Xn的均值函数、自相关函数及自协方差函数。

13、 设给定随机过程{X(t),t T}及实数x，定义随机过程

1,X(t) xY(t) 0,X(t) xt T

试将Y(t)的均值函数和自相关函数用过程X(t)的一维和二维分布函数来表示。